Номер 36.15, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.15. Найдите предел функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin2x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$;

2) $f(x) = 2\cos2x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{12}$;

3) $f(x) = x + \sin3x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) $f(x) = \sin2x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$

Функция $f(x) = \sin2x$ является непрерывной на всей числовой прямой, так как она является композицией двух непрерывных функций: линейной $g(x)=2x$ и тригонометрической $h(t)=\sin t$. Для непрерывной функции предел в точке равен значению функции в этой точке.

Найдем значение предела путем подстановки $x_0$ в функцию:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin2x = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{2\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $f(x) = 2\cos2x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{12}$

Функция $f(x) = 2\cos2x$ непрерывна на всей числовой прямой, так как является произведением константы и композиции непрерывных функций. Следовательно, предел в точке $x_0$ можно найти прямой подстановкой.

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{12}} 2\cos2x = 2\cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{12})) = 2\cos(-\frac{2\pi}{12}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-a) = \cos(a)$.

$2\cos(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3) $f(x) = x + \sin3x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Функция $f(x) = x + \sin3x$ является суммой двух непрерывных на всей числовой прямой функций ($y=x$ и $y=\sin3x$), поэтому она также непрерывна. Предел функции в точке $x_0$ равен ее значению в этой точке.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (x + \sin3x) = \frac{\pi}{4} + \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sin(\frac{3\pi}{4})$.

Для вычисления значения синуса можно использовать формулу приведения:

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, предел равен:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$

Функция $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$ является разностью двух функций. Функция $y=2x$ непрерывна везде. Функция $y=\operatorname{tg}x$ непрерывна на своей области определения, которая исключает точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$ не является точкой разрыва для $\operatorname{tg}x$, поэтому функция $f(x)$ непрерывна в этой точке. Предел можно найти прямой подстановкой.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} (2x - \operatorname{tg}x) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3})$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\sqrt{3}$.

$2 \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$.