Номер 36.21, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.21. Вычислите:

1)

$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\text{arctg}(-1);$

2)

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\text{arcctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}1;$

3)

$3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3});$

4)

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}.$

1) Для вычисления значения выражения $2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2\text{arctg}(-1)$ воспользуемся свойствами обратных тригонометрических функций и их табличными значениями.

Найдем значения каждого слагаемого:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $

$ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ 2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) - 3 \cdot (\frac{2\pi}{3}) + \frac{5\pi}{6} - 2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ -\frac{4\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-4\pi - 12\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{-8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3} $

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}$

2) Для вычисления значения выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\text{arcctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \text{arctg}1$ найдем значения каждой функции.

$ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \text{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $

Подставим значения в выражение:

$ \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot (\frac{5\pi}{6}) - (-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$ (\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + (\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = \pi + 2\pi = 3\pi $

Ответ: $3\pi$

3) Для вычисления значения выражения $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3})$ найдем значения каждой функции.

$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $

$ \text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ 3 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = \pi - 3\pi + \frac{3\pi}{4} - \pi $

Выполним сложение и вычитание:

$ \pi - 3\pi - \pi + \frac{3\pi}{4} = -3\pi + \frac{3\pi}{4} = \frac{-12\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} $

Ответ: $-\frac{9\pi}{4}$

4) Для вычисления значения выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}$ найдем значения каждой функции.

$ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $

$ \text{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ \frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) - (-\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi - 2\pi + 3\pi - 4\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

Ответ: $\frac{\pi}{3}$