Номер 37.3, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.3. Найдите предел выражения:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin 2x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin 5x + \sin 2x}{\sin 3x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 2\sin 5x}{2\sin x};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 2x}.$

1) Для нахождения предела $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin 2x}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее разрешить, воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$. Для этого разделим числитель и знаменатель нашего выражения на $x$ (при $x \to 0$, $x \neq 0$):

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x - \sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - \frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}}$

Теперь преобразуем каждое слагаемое так, чтобы можно было применить замечательный предел. Для этого домножим и разделим на соответствующие коэффициенты при $x$:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$

Так как при $x \to 0$, выражения $2x$ и $5x$ также стремятся к нулю, мы можем применить первый замечательный предел к каждой части выражения:

$\frac{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} - 5 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}}{2 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}} = \frac{1 - 5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2.

2) Предел $\lim_{x\to 0} \frac{2\sin 5x + \sin 2x}{\sin 3x}$ представляет собой неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Используем тот же подход с первым замечательным пределом. Делим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2\sin 5x + \sin 2x}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\frac{\sin 5x}{x} + \frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}}$

Приведем дроби к виду, удобному для применения замечательного предела:

$\lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x} + 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}}$

Используя свойства пределов и то, что $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, получаем:

$\frac{2 \cdot 5 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{10+2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Ответ: 4.

3) В пределе $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x - 2\sin 5x}{2\sin x}$ также имеется неопределенность $\frac{0}{0}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$ и применим первый замечательный предел:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 3x - 2\sin 5x}{x}}{\frac{2\sin x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} - 2\frac{\sin 5x}{x}}{2\frac{\sin x}{x}}$

Преобразуем выражение для использования замечательного предела:

$\lim_{x\to 0} \frac{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{2 \frac{\sin x}{x}}$

Применяя свойства пределов, находим значение:

$\frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3-10}{2} = -\frac{7}{2}$

Ответ: -3,5.

4) Предел $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 2x}$ является неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Снова используем метод деления на $x$ и первый замечательный предел:

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{x}}{\frac{5\sin 2x}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{3\frac{\sin 2x}{x} - 4\frac{\sin 5x}{x}}{5\frac{\sin 2x}{x}}$

Подготовим выражение к применению замечательного предела:

$\lim_{x\to 0} \frac{3 \cdot 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} - 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{5 \cdot 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$

Вычисляем предел:

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1 - 4 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6-20}{10} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5}$

Ответ: -1,4.