Номер 37.6, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.6. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \frac{\sin 3x}{x} \right);$

2) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\arcsin x}{3x} + \frac{\sin x}{2x} \right);$

3) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} + \frac{\sin 3x}{2x} \right);$

4) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} - \frac{\sin 3x}{3x} \right);$

5) $\lim_{x \to \infty} (\sin 5x + \operatorname{tg} 3x);$

6) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 1}{x - 1} + \frac{\sin 6x}{3x} \right).$

1)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \frac{\sin 3x}{x}) $ воспользуемся свойством предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):$ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \frac{\sin 3x}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} $.Для вычисления каждого предела воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $ и его следствиями, в частности $ \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{tg} u}{u} = 1 $.Рассмотрим первое слагаемое:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{4x} \cdot \frac{4x}{2x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{4x} \cdot 2) $.Поскольку при $ x \to 0 $, $ 4x \to 0 $, то $ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{4x} = 1 $. Таким образом, предел первого слагаемого равен $ 1 \cdot 2 = 2 $.Рассмотрим второе слагаемое:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3) $.Поскольку при $ x \to 0 $, $ 3x \to 0 $, то $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 $. Таким образом, предел второго слагаемого равен $ 1 \cdot 3 = 3 $.Сложим полученные значения: $ 2 + 3 = 5 $.Ответ: 5

2)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\arcsin x}{3x} + \frac{\sin x}{2x}) $ разобьем его на сумму двух пределов:$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} $.Используем эквивалентные бесконечно малые функции при $ x \to 0 $: $ \arcsin x \sim x $ и $ \sin x \sim x $, из которых следуют пределы $ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1 $ и $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $.Вычислим предел первого слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{\arcsin x}{x}) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $.Вычислим предел второго слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $.Сложим полученные результаты: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} $.Ответ: $ \frac{5}{6} $

3)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} + \frac{\sin 3x}{2x}) $ воспользуемся свойством предела суммы:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} $.Используем эквивалентные бесконечно малые функции при $ u \to 0 $: $ \operatorname{arctg} u \sim u $ и $ \sin u \sim u $, что означает $ \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{arctg} u}{u} = 1 $ и $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Вычислим предел первого слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{3x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3}) = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $.Вычислим предел второго слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2}) = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $.Сложим полученные результаты: $ \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} $.Ответ: $ \frac{13}{6} $

4)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} - \frac{\sin 3x}{3x}) $ воспользуемся свойством предела разности:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} $.Используем известные пределы, следующие из первого замечательного предела: $ \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{arctg} u}{u} = 1 $ и $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Вычислим предел уменьшаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 3x}{3x} \cdot 3) = 1 \cdot 3 = 3 $.Вычислим предел вычитаемого. Обозначим $ u = 3x $. При $ x \to 0 $, $ u \to 0 $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Вычтем полученные значения: $ 3 - 1 = 2 $.Ответ: 2

5)Рассмотрим предел $ \lim_{x \to \infty} (\sin 5x + \operatorname{tg} 3x) $.Функция $ f(x) = \sin 5x $ является периодической и ее значения колеблются в отрезке $ [-1, 1] $. При $ x \to \infty $ функция не стремится ни к какому конкретному значению, поэтому предел $ \lim_{x \to \infty} \sin 5x $ не существует.Функция $ g(x) = \operatorname{tg} 3x $ является периодической с периодом $ \frac{\pi}{3} $. Ее значения колеблются в интервале $ (-\infty, +\infty) $ и она имеет бесконечное число вертикальных асимптот. При $ x \to \infty $ функция не стремится ни к какому конкретному значению, поэтому предел $ \lim_{x \to \infty} \operatorname{tg} 3x $ не существует.Поскольку предел каждого из слагаемых не существует, предел их суммы также не существует.Ответ: предел не существует

6)Для вычисления предела $ \lim_{x \to \infty} (\frac{2x+1}{x-1} + \frac{\sin 6x}{3x}) $ разобьем его на сумму двух пределов:$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} + \lim_{x \to \infty} \frac{\sin 6x}{3x} $.Вычислим предел первого слагаемого. Это предел отношения двух многочленов, где степени числителя и знаменателя равны. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Или, разделив числитель и знаменатель на $ x $:$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} $.Так как $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $, получаем $ \frac{2+0}{1-0} = 2 $.Вычислим предел второго слагаемого. Функция $ \sin 6x $ ограничена: $ -1 \le \sin 6x \le 1 $. Функция $ \frac{1}{3x} $ является бесконечно малой при $ x \to \infty $. Предел произведения ограниченной функции на бесконечно малую равен нулю. Формально, по теореме о сжатой переменной (теореме о двух милиционерах):Так как $ -1 \le \sin 6x \le 1 $, то для $ x > 0 $ имеем $ \frac{-1}{3x} \le \frac{\sin 6x}{3x} \le \frac{1}{3x} $.Поскольку $ \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{3x} = 0 $ и $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x} = 0 $, то и предел "зажатой" между ними функции равен нулю: $ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin 6x}{3x} = 0 $.Сложим полученные результаты: $ 2 + 0 = 2 $.Ответ: 2