Номер 37.13, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вычислите пределы (37.13–37.15):

37.13. 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-4x)}{\sin 2x}$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{\sin^2 2x}$;

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{\sin x}$;

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}(-4x)}{\sin 2x}$;

5) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg}(-x^2)}{\sin 2x^2}$;

6) $\lim_{x \to 0} \frac{2\operatorname{arctg}x^2}{\sin x^2}$.

1) Для вычисления предела $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(-4x)}{\sin 2x} $ воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $, из которого следует, что при $ u \to 0 $, функция $ \sin u $ эквивалентна $ u $, что записывается как $ \sin u \sim u $.

В нашем случае, при $ x \to 0 $, имеем $ -4x \to 0 $ и $ 2x \to 0 $. Поэтому мы можем заменить синусы на их аргументы (использовать эквивалентные бесконечно малые):

$ \sin(-4x) \sim -4x $

$ \sin(2x) \sim 2x $

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(-4x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-4x}{2x} = \lim_{x\to 0} (-2) = -2 $.

Ответ: -2

2) Рассмотрим предел $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{\sin^2 2x} $. При $ x \to 0 $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми, основанными на первом замечательном пределе ($ \sin u \sim u $ при $ u \to 0 $).

При $ x \to 0 $, аргумент синуса в числителе $ x^2 \to 0 $, следовательно, $ \sin(x^2) \sim x^2 $.

В знаменателе аргумент синуса $ 2x \to 0 $, поэтому $ \sin(2x) \sim 2x $. Тогда $ \sin^2(2x) = (\sin(2x))^2 \sim (2x)^2 = 4x^2 $.

Заменяем функции в пределе на эквивалентные:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{\sin^2 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{4x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

3) Для вычисления предела $ \lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\sin x} $ воспользуемся следствиями из первого замечательного предела. При $ u \to 0 $, имеем $ \tan u \sim u $ и $ \sin u \sim u $.

При $ x \to 0 $, у нас $ 3x \to 0 $ и $ x \to 0 $. Следовательно:

$ \tan(3x) \sim 3x $

$ \sin(x) \sim x $

Выполняем замену в пределе:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{3x}{x} = 3 $.

Ответ: 3

4) Рассмотрим предел $ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-4x)}{\sin 2x} $. Здесь также неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.

Используем эквивалентные бесконечно малые: при $ u \to 0 $, $ \tan u \sim u $ и $ \sin u \sim u $.

При $ x \to 0 $:

$ \tan(-4x) \sim -4x $

$ \sin(2x) \sim 2x $

Подставляем в предел:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-4x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-4x}{2x} = -2 $.

Ответ: -2

5) Вычислим предел $ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-x^2)}{\sin 2x^2} $. При $ x \to 0 $ возникает неопределенность $ \frac{0}{0} $.

При $ x \to 0 $, аргументы функций $ -x^2 \to 0 $ и $ 2x^2 \to 0 $. Используем эквивалентные бесконечно малые:

$ \tan(-x^2) \sim -x^2 $

$ \sin(2x^2) \sim 2x^2 $

Заменяем функции в пределе на эквивалентные:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\tan(-x^2)}{\sin 2x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

6) Найдем предел $ \lim_{x\to 0} \frac{2\arctan x^2}{\sin x^2} $. Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми. При $ u \to 0 $, $ \arctan u \sim u $ и $ \sin u \sim u $.

В нашем случае, при $ x \to 0 $, аргумент $ x^2 \to 0 $. Поэтому:

$ \arctan(x^2) \sim x^2 $

$ \sin(x^2) \sim x^2 $

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$ \lim_{x\to 0} \frac{2\arctan x^2}{\sin x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2 \cdot x^2}{x^2} = \lim_{x\to 0} 2 = 2 $.

Ответ: 2