Номер 37.14, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.14. 1)
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1}$;

2) $\lim_{x \to \infty} \frac{(x - 1)^2}{3x - x^2 + 3}$;

3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}$;

4) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{1 - \sqrt{x^2 - 1}}$.

1) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1}$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{2}{x^2}$, $\frac{2}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

2) Найдем предел $\lim_{x \to \infty} \frac{(x - 1)^2}{3x - x^2 + 3}$. Сначала раскроем скобки в числителе: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Предел принимает вид: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{-x^2 + 3x + 3}$.

Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (старшую степень $x$):

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{-x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{-1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2}}$.

При $x \to \infty$ дроби $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{3}{x}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\frac{1 - 0 + 0}{-1 + 0 + 0} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}$. Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$. Так как $x \to \infty$, то $x > 0$ и $x = \sqrt{x^2}$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}}{\frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt{4 + x^2}}{x} - \frac{2}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt{4 + x^2}}{\sqrt{x^2}} - \frac{2}{x} \right)$.

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{\frac{4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}} - \frac{2}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - \frac{2}{x} \right)$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к 0, получаем:

$\sqrt{1 + 0} - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

4) Найдем значение предела $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{1 - \sqrt{x^2 - 1}}$. При подстановке $x \to \infty$ получаем неопределенность вида $\frac{\infty}{-\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, равную $x^1$. Учитывая, что при $x \to \infty$ имеем $x > 0$ и, следовательно, $x = \sqrt{x^2}$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4 + x^2} - 2}{x}}{\frac{1 - \sqrt{x^2 - 1}}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4 + x^2}}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}} - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}}$.

Упростив выражение, получим:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$.

При $x \to \infty$ все слагаемые вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n>0$) стремятся к нулю. Таким образом:

$\frac{\sqrt{1 + 0} - 0}{0 - \sqrt{1 - 0}} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.