Номер 37.15, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.15. 1) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x^2 + \pi x}; $

2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - 2}{\operatorname{tg}x}; $

3) $ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x + \pi)}{\sin 2x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos x}{1 - \cos x}; $

5) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x \sin x}; $

6) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 10x}{2\operatorname{tg}x}; $

7) $ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\operatorname{tg}x}\right); $

8) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\operatorname{tg}x}. $

1)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x^2 + \pi x} $.При $ x \to 0 $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Разложим знаменатель на множители: $ x^2 + \pi x = x(x + \pi) $.Предел принимает вид: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x(x + \pi)} $.Для использования первого замечательного предела $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $, преобразуем выражение.$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 7x}{x} \cdot \frac{1}{x + \pi} \right) $.Домножим и разделим на 7, чтобы аргумент синуса совпал со знаменателем:$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 7x}{7x} \cdot 7 \cdot \frac{1}{x + \pi} \right) $.Используя свойство предела произведения, получаем:$ \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{7}{x + \pi} \right) $.Первый предел равен 1 (так как при $ x \to 0 $, $ 7x \to 0 $).Второй предел равен $ \frac{7}{0 + \pi} = \frac{7}{\pi} $.Итоговый результат: $ 1 \cdot \frac{7}{\pi} = \frac{7}{\pi} $.

Ответ: $ \frac{7}{\pi} $

2)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - 2}{\tan x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Чтобы раскрыть неопределенность в числителе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{4+x} + 2 $:$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4+x} - 2)(\sqrt{4+x} + 2)}{\tan x (\sqrt{4+x} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(4+x) - 4}{\tan x (\sqrt{4+x} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x (\sqrt{4+x} + 2)} $.Разделим предел на произведение двух пределов:$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{1}{\sqrt{4+x} + 2} \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+x} + 2} \right) $.Первый предел является следствием первого замечательного предела: $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1 $.Второй предел вычисляется прямой подстановкой: $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} $.Результат: $ 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

3)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x + \pi)}{\sin 2x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем формулу приведения для числителя: $ \sin(x + \pi) = -\sin x $.Используем формулу двойного угла для знаменателя: $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.Подставим эти выражения в предел:$ \lim_{x \to 0} \frac{2(-\sin x)}{2 \sin x \cos x} $.Так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin x \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ 2 \sin x $:$ \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\cos x} $.Теперь подставим $ x = 0 $:$ \frac{-1}{\cos 0} = \frac{-1}{1} = -1 $.

Ответ: $ -1 $

4)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos x}{1 - \cos x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем формулу двойного угла для косинуса: $ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 $.Подставим в числитель:$ \cos 2x - \cos x = (2 \cos^2 x - 1) - \cos x = 2 \cos^2 x - \cos x - 1 $.Разложим квадратный трехчлен относительно $ \cos x $ на множители. Пусть $ y = \cos x $. Выражение $ 2y^2 - y - 1 $ имеет корни $ y_1 = 1 $ и $ y_2 = -1/2 $.Следовательно, $ 2y^2 - y - 1 = 2(y - 1)(y + 1/2) = (y-1)(2y+1) $.Возвращаясь к $ \cos x $: $ (\cos x - 1)(2 \cos x + 1) $.Подставим это в наш предел:$ \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)(2 \cos x + 1)}{1 - \cos x} $.Вынесем $ -1 $ за скобки в числителе: $ \cos x - 1 = -(1 - \cos x) $.$ \lim_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos x)(2 \cos x + 1)}{1 - \cos x} $.Сокращаем на $ (1 - \cos x) $, так как при $ x \to 0 $, $ \cos x \neq 1 $:$ \lim_{x \to 0} -(2 \cos x + 1) $.Подставляем $ x = 0 $:$ -(2 \cos 0 + 1) = -(2 \cdot 1 + 1) = -3 $.

Ответ: $ -3 $

5)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x \sin x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $ 1 + \sqrt{\cos x} $:$ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x})}{x \sin x (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x (1 + \sqrt{\cos x})} $.Теперь воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми при $ x \to 0 $: $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ и $ \sin x \sim x $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x \cdot x \cdot (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x^2 (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1 + \sqrt{\cos x})} $.Подставляем $ x = 0 $:$ \frac{1}{2(1 + \sqrt{\cos 0})} = \frac{1}{2(1 + \sqrt{1})} = \frac{1}{2(1+1)} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

6)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 10x}{2 \tan x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Воспользуемся эквивалентностями для бесконечно малых при $ x \to 0 $: $ \sin(kx) \sim kx $ и $ \tan x \sim x $.Тогда $ \sin 10x \sim 10x $ и $ \tan x \sim x $.Заменяем функции на эквивалентные им:$ \lim_{x \to 0} \frac{10x}{2x} $.Сокращаем на $ x $:$ \lim_{x \to 0} \frac{10}{2} = 5 $.

Ответ: $ 5 $

7)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} \right) $.Это неопределенность вида $ \infty - \infty $.Приведем выражение к общему знаменателю. Для этого заменим $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $:$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} $.Получили неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем эквивалентные бесконечно малые при $ x \to 0 $: $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ и $ \sin x \sim x $.$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} $.Подставляем $ x = 0 $:$ \frac{0}{2} = 0 $.

Ответ: $ 0 $

8)Исходный предел: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\tan x} $.Это неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $ \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x} $:$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x})(\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})}{\tan x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} $.В числителе используем формулу разности квадратов:$ (1 + \sin x) - (1 - \sin x) = 1 + \sin x - 1 + \sin x = 2 \sin x $.Предел принимает вид:$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{\tan x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} $.Заменим $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $:$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{\frac{\sin x}{\cos x} (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})} $.Сокращаем на $ \sin x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $):$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}} $.Теперь можно подставить $ x = 0 $:$ \frac{2 \cos 0}{\sqrt{1 + \sin 0} + \sqrt{1 - \sin 0}} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 $.

Ответ: $ 1 $