Номер 37.10, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.10. Вычислите предел:

1) $ \lim_{x \to 1} \frac{\operatorname{arctg}(x - 1)}{x - 1}; $

2) $ \lim_{x \to 2} \frac{\arcsin(x - 2)}{x - 2}; $

3) $ \lim_{x \to -1} \frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{\arcsin(x + 1)}; $

4) $ \lim_{x \to 1,5} \frac{\arcsin(2x - 3)}{\operatorname{arctg}(2x - 3)}. $

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{\operatorname{arctg}(x - 1)}{x - 1}$.

При $x \to 1$ числитель $\operatorname{arctg}(x - 1) \to \operatorname{arctg}(0) = 0$ и знаменатель $x - 1 \to 0$. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Для вычисления этого предела сделаем замену переменной. Пусть $y = x - 1$. Когда $x \to 1$, тогда $y \to 0$.

Предел принимает вид: $\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{y}$.

Это является следствием первого замечательного предела, известным как эквивалентность бесконечно малых: $\operatorname{arctg}(y) \sim y$ при $y \to 0$. Таким образом, предел равен 1.

$\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{y} = 1$.

Следовательно, исходный предел также равен 1.

Ответ: 1

2) Вычислим предел $\lim_{x \to 2} \frac{\arcsin(x - 2)}{x - 2}$.

Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как при $x \to 2$ и числитель $\arcsin(x - 2) \to \arcsin(0) = 0$, и знаменатель $x - 2 \to 0$.

Сделаем замену переменной: $y = x - 2$. При $x \to 2$, $y \to 0$.

Предел преобразуется к виду: $\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{y}$.

Это также следствие первого замечательного предела, $\arcsin(y) \sim y$ при $y \to 0$, значение которого равно 1.

$\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{y} = 1$.

Таким образом, искомый предел равен 1.

Ответ: 1

3) Вычислим предел $\lim_{x \to -1} \frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{\arcsin(x + 1)}$.

При $x \to -1$ выражение $x+1 \to 0$. Таким образом, мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\operatorname{arctg}(0)=0$ и $\arcsin(0)=0$.

Для решения используем эквивалентные бесконечно малые функции. При $u \to 0$ справедливы эквивалентности: $\operatorname{arctg}(u) \sim u$ и $\arcsin(u) \sim u$.

Сделаем замену $y = x + 1$. При $x \to -1$, $y \to 0$.

Предел принимает вид: $\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{\arcsin(y)}$.

Заменяя функции на эквивалентные им бесконечно малые, получаем: $\lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = \lim_{y \to 0} 1 = 1$.

Другой способ - разделить числитель и знаменатель на $x+1$: $\lim_{x \to -1} \frac{\frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{x + 1}}{\frac{\arcsin(x + 1)}{x + 1}} = \frac{\lim_{x \to -1} \frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{x + 1}}{\lim_{x \to -1} \frac{\arcsin(x + 1)}{x + 1}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1

4) Вычислим предел $\lim_{x \to 1.5} \frac{\arcsin(2x - 3)}{\operatorname{arctg}(2x - 3)}$.

При $x \to 1.5$ выражение $2x-3 \to 2 \cdot 1.5 - 3 = 3 - 3 = 0$. Мы снова сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Сделаем замену переменной $y = 2x - 3$. Когда $x \to 1.5$, тогда $y \to 0$.

Исходный предел становится: $\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{\operatorname{arctg}(y)}$.

Используя эквивалентности для бесконечно малых $\arcsin(y) \sim y$ и $\operatorname{arctg}(y) \sim y$ при $y \to 0$, получаем: $\lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = 1$.

Как и в предыдущем примере, можно разделить числитель и знаменатель на $y=2x-3$ и использовать замечательные пределы: $\lim_{y \to 0} \frac{\frac{\arcsin(y)}{y}}{\frac{\operatorname{arctg}(y)}{y}} = \frac{\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{y}}{\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{y}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1