Номер 37.5, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.5. Используя замечательный предел, вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 2x}{2 \text{ sin } x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 3x}{\text{sin } 3x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 2x}{\text{tg } 5x};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 6x}{\text{arcsin } 3x}.$

1) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2\sin x}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, воспользуемся следствиями из первого замечательного предела, которые гласят, что при $x \to 0$ справедливы следующие эквивалентности для бесконечно малых функций: $\operatorname{arctg}(kx) \sim kx$ и $\sin(kx) \sim kx$.

В данном случае, при $x \to 0$, мы имеем $\operatorname{arctg} 2x \sim 2x$ и $\sin x \sim x$.

Заменим функции в пределе на их эквиваленты:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2\sin x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{2x} = \lim_{x\to0} 1 = 1$.

Для более строгого доказательства, преобразуем выражение так, чтобы явно использовать известные пределы $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1$ и $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2\sin x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\sin x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \left( \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{2x}{x} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x}\right) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Ответ: 1.

2) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{\sin 3x}$ также используем метод замены на эквивалентные бесконечно малые, поскольку при $x \to 0$ мы имеем неопределенность $\frac{0}{0}$.

При $x \to 0$, $\operatorname{arctg} 3x \sim 3x$ и $\sin 3x \sim 3x$.

Подставим эти эквивалентности в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0} \frac{3x}{3x} = 1$.

Формальное решение состоит в делении числителя и знаменателя на $3x$ и использовании свойств пределов:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\operatorname{arctg} 3x}{3x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg} 3x}{3x}}{\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}}$.

Поскольку при $x \to 0$ также и $3x \to 0$, оба предела в числителе и знаменателе равны 1. Таким образом, получаем:

$\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1.

3) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\operatorname{tg} 5x}$. Здесь снова неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся эквивалентностями, следующими из первого замечательного предела: при $x \to 0$ имеем $\operatorname{arctg} 2x \sim 2x$ и $\operatorname{tg} 5x \sim 5x$.

Произведем замену в исходном выражении:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\operatorname{tg} 5x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Подробное решение с использованием стандартных пределов $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1$ и $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{tg} u}{u}=1$:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\operatorname{tg} 5x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\operatorname{tg} 5x}{5x} \cdot 5x} = \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}}{\frac{\operatorname{tg} 5x}{5x}} \cdot \frac{2x}{5x} \right) = \frac{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}}{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} 5x}{5x}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

4) Рассмотрим предел $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 6x}{\operatorname{arcsin} 3x}$. При подстановке $x=0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Используем эквивалентные бесконечно малые: при $x \to 0$ справедливы соотношения $\operatorname{arctg} 6x \sim 6x$ и $\operatorname{arcsin} 3x \sim 3x$.

Подставляем эквиваленты в предел и упрощаем:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 6x}{\operatorname{arcsin} 3x} = \lim_{x\to0} \frac{6x}{3x} = \frac{6}{3} = 2$.

Для формального решения преобразуем выражение, чтобы выделить известные пределы:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 6x}{\operatorname{arcsin} 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\operatorname{arctg} 6x}{6x} \cdot 6x}{\frac{\operatorname{arcsin} 3x}{3x} \cdot 3x} = \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\operatorname{arctg} 6x}{6x}}{\frac{\operatorname{arcsin} 3x}{3x}} \cdot \frac{6x}{3x} \right) = \frac{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg} 6x}{6x}}{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arcsin} 3x}{3x}} \cdot 2$.

Так как $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1$ и $\lim_{v\to0}\frac{\operatorname{arcsin} v}{v}=1$, получаем:

$\frac{1}{1} \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2.