Задания, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите самостоятельно $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg}x}{x} = 1$.

Для доказательства данного равенства можно использовать несколько методов.

Доказательство с использованием замены переменной и первого замечательного предела

Рассмотрим предел $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x}$.

Выполним замену переменной. Пусть $y = \arctan x$. Тогда $x = \tan y$.

Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), переменная $y$ также стремится к нулю, так как $y = \arctan x \to \arctan 0 = 0$.

Подставим новую переменную в исходное выражение предела:

$\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{y\to0} \frac{y}{\tan y}$

Используя определение тангенса $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$, преобразуем выражение:

$\lim_{y\to0} \frac{y}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \lim_{y\to0} \frac{y \cos y}{\sin y}$

Перегруппируем множители, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, который гласит, что $\lim_{y\to0} \frac{\sin y}{y} = 1$.

$\lim_{y\to0} \left(\frac{y}{\sin y} \cdot \cos y\right) = \left(\lim_{y\to0} \frac{y}{\sin y}\right) \cdot \left(\lim_{y\to0} \cos y\right)$

Вычислим каждый из этих пределов:

$\lim_{y\to0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y\to0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{\lim_{y\to0} \frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$.

$\lim_{y\to0} \cos y = \cos 0 = 1$.

Результат равен произведению этих двух пределов:

$1 \cdot 1 = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = 1$.

Ответ: 1.

Доказательство с использованием правила Лопиталя

Рассматриваемый предел $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x}$ представляет собой неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\arctan(0) = 0$ и знаменатель также равен нулю при $x=0$.

Это позволяет нам применить правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных (если последний существует).

Найдем производные числителя и знаменателя:

Производная числителя: $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Производная знаменателя: $(x)' = 1$.

Теперь применим правило:

$\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{(\arctan x)'}{(x)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1}$

Вычислим полученный предел:

$\lim_{x\to0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Равенство доказано.

Ответ: 1.

Доказательство с использованием определения производной

Определение производной функции $f(x)$ в точке $a$ имеет вид: $f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

Преобразуем наш предел, чтобы он соответствовал этому определению. Для этого выберем функцию $f(x) = \arctan x$ и точку $a = 0$.

Поскольку $f(0) = \arctan(0) = 0$, мы можем записать:

$\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\arctan x - 0}{x - 0} = \lim_{x\to0} \frac{\arctan x - \arctan 0}{x - 0}$

Это выражение является в точности определением производной функции $f(x) = \arctan x$ в точке $x=0$.

Следовательно, значение предела равно $f'(0)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=0$:

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$.

Таким образом, мы подтвердили, что $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = 1$.

Ответ: 1.