Номер 37.1, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.1. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

1) $f(x) = \frac{\sin x}{3x}$ при $x \to 0$;

2) $f(x) = \frac{\sin 6x}{3x}$ при $x \to 0$;

3) $f(x) = \frac{2\sin 2x}{5x}$ при $x \to 0$;

4) $f(x) = \frac{5\sin 3x}{6x}$ при $x \to 0$.

Для решения всех задач используется первый замечательный предел: $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

1) Найдем предел функции $f(x) = \frac{\sin x}{3x}$ при $x \to 0$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{3}$ за знак предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin x}{x}\right) = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $.

Используя первый замечательный предел, получаем:

$ \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

2) Найдем предел функции $f(x) = \frac{\sin 6x}{3x}$ при $x \to 0$.

Чтобы применить первый замечательный предел, нам нужно, чтобы аргумент синуса совпадал со знаменателем. Для этого умножим и разделим знаменатель на 2 (или все выражение на $\frac{2}{2}$):

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{3x} \cdot \frac{2}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{2}{1} $.

Пусть $u = 6x$. Когда $x \to 0$, то и $u \to 0$. Таким образом, $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

Тогда предел исходной функции равен:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 $.

Ответ: $2$.

3) Найдем предел функции $f(x) = \frac{2\sin 2x}{5x}$ при $x \to 0$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{2}{5}$ за знак предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{5x} = \frac{2}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $.

Чтобы в знаменателе получить аргумент синуса ($2x$), умножим и разделим выражение под пределом на 2:

$ \frac{2}{5} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2\right) = \frac{2}{5} \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}\right) \cdot 2 $.

Так как $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 $, получаем:

$ \frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

4) Найдем предел функции $f(x) = \frac{5\sin 3x}{6x}$ при $x \to 0$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{5}{6}$ за знак предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{5\sin 3x}{6x} = \frac{5}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} $.

Чтобы в знаменателе получить аргумент синуса ($3x$), умножим и разделим выражение под пределом на 3:

$ \frac{5}{6} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right) = \frac{5}{6} \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}\right) \cdot 3 $.

Так как $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 $, получаем:

$ \frac{5}{6} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} $.

Ответ: $ \frac{5}{2} $.