Номер 37.2, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.2. Докажите, что верно равенство:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin 3x}{2x} = 2,5;$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin 3x}{2x} = -0,5;$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x - \sin 4x}{5x} = 1;$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x + \sin 3x}{2x} = 4.$

Для доказательства всех равенств используется первый замечательный предел: $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, а также свойство аддитивности предела: предел суммы/разности равен сумме/разности пределов.

1) Разделим предел на сумму двух пределов:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} + \frac{\sin 3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$.

Первый предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}$ является прямым следствием первого замечательного предела (здесь $u=2x$), поэтому он равен 1.

Второй предел преобразуем, чтобы использовать первый замечательный предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = 1,5$.

Складываем полученные результаты:

$1 + 1,5 = 2,5$.

Равенство доказано.

Ответ: 2,5.

2) Действуем аналогично первому пункту, но для разности:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} - \frac{\sin 3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$.

Значения пределов нам уже известны из предыдущего пункта:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = 1,5$

Находим разность:

$1 - 1,5 = -0,5$.

Равенство доказано.

Ответ: -0,5.

3) Разделим предел на разность двух пределов:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x - \sin 4x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 9x}{5x} - \frac{\sin 4x}{5x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x}{5x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{5x}$.

Вычислим каждый предел по отдельности, приводя к первому замечательному пределу:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 9x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 9x}{9x} \cdot \frac{9x}{5x} \right) = 1 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \frac{4x}{5x} \right) = 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$.

Вычисляем разность:

$\frac{9}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Равенство доказано.

Ответ: 1.

4) Разделим предел на сумму двух пределов:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x + \sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{2x} + \frac{\sin 3x}{2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$.

Вычислим каждый предел отдельно:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{2x} \right) = 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \right) = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Складываем результаты:

$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Равенство доказано.

Ответ: 4.