Номер 36.19, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.19. Решите уравнение:

1) $\text{arctg}4x = \frac{\pi}{4}$;

2) $\text{arcsin}\left(3 - \frac{x}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$;

3) $\text{arccos}(1 - 2x) = \pi.$

1) $arctg(4x) = \frac{\pi}{4}$

Согласно определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $a = tg(b)$. Применяя это правило к данному уравнению, получаем:

$4x = tg(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.

$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$

Подставляем это значение в уравнение:

$4x = 1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{1}{4}$

Областью определения функции арктангенса является множество всех действительных чисел, поэтому найденный корень является решением.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

2) $arcsin(3 - \frac{x}{2}) = -\frac{\pi}{6}$

Согласно определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = sin(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, а значение $a$ должно принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Применим определение к уравнению:

$3 - \frac{x}{2} = sin(-\frac{\pi}{6})$

Значение синуса угла $-\frac{\pi}{6}$ равно $-\frac{1}{2}$.

$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставляем это значение в уравнение:

$3 - \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

Выразим $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = 3 - (-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{7}{2}$

Отсюда находим $x$:

$x = 7$

Необходимо выполнить проверку, так как аргумент арксинуса должен находиться в пределах от -1 до 1. Подставим найденное значение $x$ в выражение $3 - \frac{x}{2}$:

$3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}$

Значение $-\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $x = 7$.

3) $arccos(1 - 2x) = \pi$

Согласно определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = cos(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$, а значение $a$ должно принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Применим определение к уравнению:

$1 - 2x = cos(\pi)$

Значение косинуса угла $\pi$ равно -1.

$cos(\pi) = -1$

Подставляем это значение в уравнение:

$1 - 2x = -1$

Перенесем 1 в правую часть:

$-2x = -1 - 1$

$-2x = -2$

Разделим обе части на -2:

$x = 1$

Необходимо выполнить проверку, так как аргумент арккосинуса должен находиться в пределах от -1 до 1. Подставим найденное значение $x$ в выражение $1 - 2x$:

$1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

Значение -1 принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $x = 1$.