Номер 36.13, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.13. Запишите дробно-рациональную функцию $f(x)$, которая при $x \to -2$ имеет предел, равный числу:

1) 2;

2) 4;

3) -2;

4) $\sqrt{2}$.

Общая идея для решения всех пунктов задачи состоит в том, чтобы сконструировать дробно-рациональную функцию $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $, которая в точке $ x = -2 $ будет иметь неопределенность вида $ \frac{0}{0} $, и при раскрытии этой неопределенности получится заданное значение предела.

Чтобы и числитель $ P(x) $, и знаменатель $ Q(x) $ обращались в ноль при $ x = -2 $, они оба должны содержать множитель $ (x - (-2)) $, то есть $ (x + 2) $.

Таким образом, функция будет иметь вид $ f(x) = \frac{g(x) \cdot (x+2)}{h(x) \cdot (x+2)} $, где $ g(x) $ и $ h(x) $ — некоторые многочлены, причем $ h(-2) \neq 0 $.

Предел такой функции при $ x \to -2 $ находится сокращением общего множителя $ (x+2) $:$ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{g(x) \cdot (x+2)}{h(x) \cdot (x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g(-2)}{h(-2)} $.

Наша задача — подобрать такие многочлены $ g(x) $ и $ h(x) $, чтобы выполнялось нужное равенство. Для простоты можно выбрать $ h(x) $ и $ g(x) $ в виде констант.

1) 2

Нам нужно, чтобы предел был равен 2. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = 2 $.

Выберем простейшие многочлены: пусть $ g(x) = 2 $ и $ h(x) = 1 $. Условие $ h(-2) \neq 0 $ выполняется, так как $ 1 \neq 0 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{2 \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{2x+4}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{2x+4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{2(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} 2 = 2 $.

Ответ: $ f(x) = \frac{2x+4}{x+2} $.

2) 4

Нам нужно, чтобы предел был равен 4. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = 4 $.

Выберем $ g(x) = 4 $ и $ h(x) = 1 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{4 \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{4x+8}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{4x+8}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{4(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} 4 = 4 $.

Ответ: $ f(x) = \frac{4x+8}{x+2} $.

3) -2

Нам нужно, чтобы предел был равен -2. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = -2 $.

Выберем $ g(x) = -2 $ и $ h(x) = 1 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{-2 \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{-2x-4}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{-2x-4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{-2(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} -2 = -2 $.

Ответ: $ f(x) = \frac{-2x-4}{x+2} $.

4) $ \sqrt{2} $

Нам нужно, чтобы предел был равен $ \sqrt{2} $. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = \sqrt{2} $.

Выберем $ g(x) = \sqrt{2} $ и $ h(x) = 1 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{\sqrt{2} \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{2}(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} \sqrt{2} = \sqrt{2} $.

Ответ: $ f(x) = \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x+2} $.