Номер 36.11, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.11. Найдите предел:

1) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x}{x + 2}; $

2) $ \lim_{x \to 1} \frac{6x - 2x^3}{x^2 - 3}; $

3) $ \lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x}; $

4) $ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}. $

1) Для вычисления предела $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x}{x + 2}$, подставим значение $x=2$ в выражение, так как знаменатель при $x=2$ не обращается в ноль. Это означает, что функция непрерывна в данной точке.

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x}{x + 2} = \frac{2^2 + 2 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{4 + 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Альтернативный способ — упростить выражение, вынеся общий множитель в числителе:

$\lim_{x \to 2} \frac{x(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to 2} x = 2$.

Ответ: 2

2) Для вычисления предела $\lim_{x \to -1} \frac{6x - 2x^3}{x^2 - 3}$, подставим значение $x=-1$ в выражение. Знаменатель при $x=-1$ не равен нулю, следовательно, функция непрерывна в этой точке.

$\lim_{x \to -1} \frac{6x - 2x^3}{x^2 - 3} = \frac{6(-1) - 2(-1)^3}{(-1)^2 - 3} = \frac{-6 - 2(-1)}{1 - 3} = \frac{-6 + 2}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$.

Ответ: 2

3) Для вычисления предела $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x}$, подставим значение $x=-3$ в выражение. Знаменатель при $x=-3$ не равен нулю, следовательно, функция непрерывна в этой точке.

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x} = \frac{(-3)^2 - 5(-3) + 6}{2 - (-3)} = \frac{9 + 15 + 6}{2 + 3} = \frac{30}{5} = 6$.

Ответ: 6

4) При подстановке значения $x=1$ в предел $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как:

Числитель: $2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.

Знаменатель: $1 - 1 = 0$.

Для раскрытия неопределенности необходимо разложить числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $2x^2 - 3x + 1 = 2(x - 1)(x - \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x - 1)$.

Теперь вернемся к пределу:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(2x - 1)}{x - 1}$.

Так как $x \to 1$, но $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.

Ответ: 1