Номер 36.10, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.10. Найдите значение предела функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x + \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ в точке $x_0 = 3$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4} - 3x$ в точке $x_0 = -4$;

3) $f(x) = \frac{4 - x^2}{x - 2} + x$ в точке $x_0 = -2$;

4) $f(x) = \frac{2x^2 - 18}{x + 3} - 2x$ в точке $x_0 = -3$.

1) Требуется найти значение предела функции $f(x) = x + \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ в точке $x_0 = 3$.

При прямой подстановке значения $x_0 = 3$ в функцию, в знаменателе дроби получаем ноль, что приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to 3} \left(x + \frac{x^2 - 9}{x - 3}\right) = 3 + \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = 3 + \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности упростим выражение, разложив числитель дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложение в исходную функцию и сократим дробь при условии, что $x \neq 3$:

$f(x) = x + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + (x + 3) = 2x + 3$.

Теперь найдем предел для упрощенной функции:

$\lim_{x \to 3} (2x + 3) = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 9

2) Требуется найти значение предела функции $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4} - 3x$ в точке $x_0 = -4$.

Прямая подстановка значения $x_0 = -4$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to -4} \left(\frac{x^2 - 16}{x + 4} - 3x\right) = \frac{(-4)^2 - 16}{-4 + 4} - 3(-4) = \frac{16 - 16}{0} + 12 = \frac{0}{0}$.

Упростим выражение, разложив числитель дроби на множители:

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Подставим разложение в функцию и сократим дробь при условии, что $x \neq -4$:

$f(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} - 3x = (x - 4) - 3x = -2x - 4$.

Найдем предел для упрощенной функции:

$\lim_{x \to -4} (-2x - 4) = -2(-4) - 4 = 8 - 4 = 4$.

Ответ: 4

3) Требуется найти значение предела функции $f(x) = \frac{4 - x^2}{x - 2} + x$ в точке $x_0 = -2$.

В данном случае функция непрерывна в точке $x_0 = -2$, так как знаменатель дроби $x - 2$ не обращается в ноль при подстановке $x = -2$ (он равен $-2 - 2 = -4$). Поэтому предел можно найти прямой подстановкой:

$\lim_{x \to -2} \left(\frac{4 - x^2}{x - 2} + x\right) = \frac{4 - (-2)^2}{-2 - 2} + (-2) = \frac{4 - 4}{-4} - 2 = \frac{0}{-4} - 2 = 0 - 2 = -2$.

Ответ: -2

4) Требуется найти значение предела функции $f(x) = \frac{2x^2 - 18}{x + 3} - 2x$ в точке $x_0 = -3$.

Прямая подстановка значения $x_0 = -3$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to -3} \left(\frac{2x^2 - 18}{x + 3} - 2x\right) = \frac{2(-3)^2 - 18}{-3 + 3} - 2(-3) = \frac{2 \cdot 9 - 18}{0} + 6 = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности упростим выражение. Сначала вынесем общий множитель 2 в числителе, а затем разложим полученное выражение на множители:

$2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложение в функцию и сократим дробь при условии, что $x \neq -3$:

$f(x) = \frac{2(x - 3)(x + 3)}{x + 3} - 2x = 2(x - 3) - 2x = 2x - 6 - 2x = -6$.

Функция при $x \neq -3$ тождественно равна константе -6. Предел константы равен самой константе:

$\lim_{x \to -3} (-6) = -6$.

Ответ: -6