Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

36.10. Найдите значение предела функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x + \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ в точке $x_0 = 3$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4} - 3x$ в точке $x_0 = -4$;

3) $f(x) = \frac{4 - x^2}{x - 2} + x$ в точке $x_0 = -2$;

4) $f(x) = \frac{2x^2 - 18}{x + 3} - 2x$ в точке $x_0 = -3$.

1) Требуется найти значение предела функции $f(x) = x + \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ в точке $x_0 = 3$.

При прямой подстановке значения $x_0 = 3$ в функцию, в знаменателе дроби получаем ноль, что приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to 3} \left(x + \frac{x^2 - 9}{x - 3}\right) = 3 + \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = 3 + \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности упростим выражение, разложив числитель дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложение в исходную функцию и сократим дробь при условии, что $x \neq 3$:

$f(x) = x + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + (x + 3) = 2x + 3$.

Теперь найдем предел для упрощенной функции:

$\lim_{x \to 3} (2x + 3) = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 9

2) Требуется найти значение предела функции $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4} - 3x$ в точке $x_0 = -4$.

Прямая подстановка значения $x_0 = -4$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to -4} \left(\frac{x^2 - 16}{x + 4} - 3x\right) = \frac{(-4)^2 - 16}{-4 + 4} - 3(-4) = \frac{16 - 16}{0} + 12 = \frac{0}{0}$.

Упростим выражение, разложив числитель дроби на множители:

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Подставим разложение в функцию и сократим дробь при условии, что $x \neq -4$:

$f(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} - 3x = (x - 4) - 3x = -2x - 4$.

Найдем предел для упрощенной функции:

$\lim_{x \to -4} (-2x - 4) = -2(-4) - 4 = 8 - 4 = 4$.

Ответ: 4

3) Требуется найти значение предела функции $f(x) = \frac{4 - x^2}{x - 2} + x$ в точке $x_0 = -2$.

В данном случае функция непрерывна в точке $x_0 = -2$, так как знаменатель дроби $x - 2$ не обращается в ноль при подстановке $x = -2$ (он равен $-2 - 2 = -4$). Поэтому предел можно найти прямой подстановкой:

$\lim_{x \to -2} \left(\frac{4 - x^2}{x - 2} + x\right) = \frac{4 - (-2)^2}{-2 - 2} + (-2) = \frac{4 - 4}{-4} - 2 = \frac{0}{-4} - 2 = 0 - 2 = -2$.

Ответ: -2

4) Требуется найти значение предела функции $f(x) = \frac{2x^2 - 18}{x + 3} - 2x$ в точке $x_0 = -3$.

Прямая подстановка значения $x_0 = -3$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to -3} \left(\frac{2x^2 - 18}{x + 3} - 2x\right) = \frac{2(-3)^2 - 18}{-3 + 3} - 2(-3) = \frac{2 \cdot 9 - 18}{0} + 6 = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности упростим выражение. Сначала вынесем общий множитель 2 в числителе, а затем разложим полученное выражение на множители:

$2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложение в функцию и сократим дробь при условии, что $x \neq -3$:

$f(x) = \frac{2(x - 3)(x + 3)}{x + 3} - 2x = 2(x - 3) - 2x = 2x - 6 - 2x = -6$.

Функция при $x \neq -3$ тождественно равна константе -6. Предел константы равен самой константе:

$\lim_{x \to -3} (-6) = -6$.

Ответ: -6

36.11. Найдите предел:

1) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x}{x + 2}; $

2) $ \lim_{x \to 1} \frac{6x - 2x^3}{x^2 - 3}; $

3) $ \lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x}; $

4) $ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}. $

1) Для вычисления предела $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x}{x + 2}$, подставим значение $x=2$ в выражение, так как знаменатель при $x=2$ не обращается в ноль. Это означает, что функция непрерывна в данной точке.

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x}{x + 2} = \frac{2^2 + 2 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{4 + 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Альтернативный способ — упростить выражение, вынеся общий множитель в числителе:

$\lim_{x \to 2} \frac{x(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to 2} x = 2$.

Ответ: 2

2) Для вычисления предела $\lim_{x \to -1} \frac{6x - 2x^3}{x^2 - 3}$, подставим значение $x=-1$ в выражение. Знаменатель при $x=-1$ не равен нулю, следовательно, функция непрерывна в этой точке.

$\lim_{x \to -1} \frac{6x - 2x^3}{x^2 - 3} = \frac{6(-1) - 2(-1)^3}{(-1)^2 - 3} = \frac{-6 - 2(-1)}{1 - 3} = \frac{-6 + 2}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$.

Ответ: 2

3) Для вычисления предела $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x}$, подставим значение $x=-3$ в выражение. Знаменатель при $x=-3$ не равен нулю, следовательно, функция непрерывна в этой точке.

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x} = \frac{(-3)^2 - 5(-3) + 6}{2 - (-3)} = \frac{9 + 15 + 6}{2 + 3} = \frac{30}{5} = 6$.

Ответ: 6

4) При подстановке значения $x=1$ в предел $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как:

Числитель: $2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.

Знаменатель: $1 - 1 = 0$.

Для раскрытия неопределенности необходимо разложить числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $2x^2 - 3x + 1 = 2(x - 1)(x - \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x - 1)$.

Теперь вернемся к пределу:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(2x - 1)}{x - 1}$.

Так как $x \to 1$, но $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.

Ответ: 1

36.12. Вычислите предел:

1) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 + 2} $;

2) $ \lim_{x \to \infty} \frac{6x - 2x^3}{x^3 - 3} $;

3) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x^2} $;

4) $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x^3 + x + 1}{x^3 - 1} $.

1) Для нахождения предела при $x \to \infty$ имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $x^2$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 + 2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{2}{x^2}} $

Так как при $x \to \infty$ значения выражений $\frac{2}{x}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{1 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) В данном пределе также имеется неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной в знаменателе, то есть на $x^3$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{6x - 2x^3}{x^3 - 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{6x}{x^3} - \frac{2x^3}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{6}{x^2} - 2}{1 - \frac{3}{x^3}} $

При $x \to \infty$ дроби $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{3}{x^3}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$ \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2 $

Ответ: -2

3) Снова имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Старшая степень переменной в знаменателе - $x^2$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{2 - x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{6}{x^2}}{\frac{2}{x^2} - \frac{x^2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{\frac{2}{x^2} - 1} $

Учитывая, что $\frac{5}{x}$, $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю при $x \to \infty$, получаем:

$ \frac{1 - 0 + 0}{0 - 1} = -1 $

Ответ: -1

4) В этом примере также неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Старшая степень знаменателя - $x^3$. Делим числитель и знаменатель на $x^3$.

$ \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2 - 3x^3 + x + 1}{x^3 - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2}{x} - 3 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{1}{x^3}} $

Поскольку слагаемые $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{1}{x^3}$ стремятся к нулю при $x \to \infty$, предел будет равен:

$ \frac{0 - 3 + 0 + 0}{1 - 0} = -3 $

Ответ: -3

36.13. Запишите дробно-рациональную функцию $f(x)$, которая при $x \to -2$ имеет предел, равный числу:

1) 2;

2) 4;

3) -2;

4) $\sqrt{2}$.

Общая идея для решения всех пунктов задачи состоит в том, чтобы сконструировать дробно-рациональную функцию $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $, которая в точке $ x = -2 $ будет иметь неопределенность вида $ \frac{0}{0} $, и при раскрытии этой неопределенности получится заданное значение предела.

Чтобы и числитель $ P(x) $, и знаменатель $ Q(x) $ обращались в ноль при $ x = -2 $, они оба должны содержать множитель $ (x - (-2)) $, то есть $ (x + 2) $.

Таким образом, функция будет иметь вид $ f(x) = \frac{g(x) \cdot (x+2)}{h(x) \cdot (x+2)} $, где $ g(x) $ и $ h(x) $ — некоторые многочлены, причем $ h(-2) \neq 0 $.

Предел такой функции при $ x \to -2 $ находится сокращением общего множителя $ (x+2) $:$ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{g(x) \cdot (x+2)}{h(x) \cdot (x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g(-2)}{h(-2)} $.

Наша задача — подобрать такие многочлены $ g(x) $ и $ h(x) $, чтобы выполнялось нужное равенство. Для простоты можно выбрать $ h(x) $ и $ g(x) $ в виде констант.

1) 2

Нам нужно, чтобы предел был равен 2. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = 2 $.

Выберем простейшие многочлены: пусть $ g(x) = 2 $ и $ h(x) = 1 $. Условие $ h(-2) \neq 0 $ выполняется, так как $ 1 \neq 0 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{2 \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{2x+4}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{2x+4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{2(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} 2 = 2 $.

Ответ: $ f(x) = \frac{2x+4}{x+2} $.

2) 4

Нам нужно, чтобы предел был равен 4. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = 4 $.

Выберем $ g(x) = 4 $ и $ h(x) = 1 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{4 \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{4x+8}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{4x+8}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{4(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} 4 = 4 $.

Ответ: $ f(x) = \frac{4x+8}{x+2} $.

3) -2

Нам нужно, чтобы предел был равен -2. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = -2 $.

Выберем $ g(x) = -2 $ и $ h(x) = 1 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{-2 \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{-2x-4}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{-2x-4}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{-2(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} -2 = -2 $.

Ответ: $ f(x) = \frac{-2x-4}{x+2} $.

4) $ \sqrt{2} $

Нам нужно, чтобы предел был равен $ \sqrt{2} $. То есть, $ \frac{g(-2)}{h(-2)} = \sqrt{2} $.

Выберем $ g(x) = \sqrt{2} $ и $ h(x) = 1 $.

Тогда искомая функция:$ f(x) = \frac{\sqrt{2} \cdot (x+2)}{1 \cdot (x+2)} = \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x+2} $.

Проверим предел:$ \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{2}(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} \sqrt{2} = \sqrt{2} $.

Ответ: $ f(x) = \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x+2} $.

36.14. Запишите дробно-рациональную функцию $f(x)$, которая при $x \to \infty$ имеет предел, равный числу: 1) -1; 2) 3; 3) -4; 4) $\sqrt{3}$.

Для решения задачи необходимо использовать правило нахождения предела дробно-рациональной функции при $x \to \infty$. Дробно-рациональная функция — это функция вида $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

Предел такой функции при $x \to \infty$ равен конечному ненулевому числу $L$ только в том случае, если степени многочленов в числителе $P(x)$ и в знаменателе $Q(x)$ одинаковы. Если старшая степень $x$ в числителе и знаменателе равна $n$, а коэффициенты при $x^n$ равны $a_n$ и $b_n$ соответственно, то предел равен их отношению:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots}{b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots} = \frac{a_n}{b_n} = L$.

Таким образом, для каждого пункта задачи нужно составить функцию, у которой степени числителя и знаменателя равны, а отношение старших коэффициентов равно заданному числу. Существует бесконечное множество таких функций, для каждого пункта мы приведем один из возможных примеров.

1) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = -1$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $-1$. Выберем многочлены первой степени. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_1 = -1$, а знаменателя $b_1 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{-x + 5}{x + 2}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{-x + 5}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(-1 + 5/x)}{x(1 + 2/x)} = \frac{-1}{1} = -1$.

Ответ: $f(x) = \frac{-x + 5}{x + 2}$.

2) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $3$. Выберем многочлены первой степени. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_1 = 3$, а знаменателя $b_1 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 4}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(3 - 1/x)}{x(1 + 4/x)} = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 4}$.

3) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = -4$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $-4$. Можно выбрать многочлены любой одинаковой степени, например, второй. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_2 = -4$, а знаменателя $b_2 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{-4x^2 + 3x}{x^2 + 1}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 + 3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(-4 + 3/x)}{x^2(1 + 1/x^2)} = \frac{-4}{1} = -4$.

Ответ: $f(x) = \frac{-4x^2 + 3x}{x^2 + 1}$.

4) Требуется найти функцию, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = \sqrt{3}$.

Для этого необходимо, чтобы отношение старших коэффициентов было равно $\sqrt{3}$. Выберем многочлены первой степени. Пусть старший коэффициент числителя будет $a_1 = \sqrt{3}$, а знаменателя $b_1 = 1$.

Примером такой функции является $f(x) = \frac{\sqrt{3}x - 2}{x + 1}$.

Проверим предел: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{3}x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(\sqrt{3} - 2/x)}{x(1 + 1/x)} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $f(x) = \frac{\sqrt{3}x - 2}{x + 1}$.

36.15. Найдите предел функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin2x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$;

2) $f(x) = 2\cos2x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{12}$;

3) $f(x) = x + \sin3x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) $f(x) = \sin2x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$

Функция $f(x) = \sin2x$ является непрерывной на всей числовой прямой, так как она является композицией двух непрерывных функций: линейной $g(x)=2x$ и тригонометрической $h(t)=\sin t$. Для непрерывной функции предел в точке равен значению функции в этой точке.

Найдем значение предела путем подстановки $x_0$ в функцию:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin2x = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{2\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $f(x) = 2\cos2x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{12}$

Функция $f(x) = 2\cos2x$ непрерывна на всей числовой прямой, так как является произведением константы и композиции непрерывных функций. Следовательно, предел в точке $x_0$ можно найти прямой подстановкой.

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{12}} 2\cos2x = 2\cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{12})) = 2\cos(-\frac{2\pi}{12}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-a) = \cos(a)$.

$2\cos(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3) $f(x) = x + \sin3x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Функция $f(x) = x + \sin3x$ является суммой двух непрерывных на всей числовой прямой функций ($y=x$ и $y=\sin3x$), поэтому она также непрерывна. Предел функции в точке $x_0$ равен ее значению в этой точке.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (x + \sin3x) = \frac{\pi}{4} + \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sin(\frac{3\pi}{4})$.

Для вычисления значения синуса можно использовать формулу приведения:

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, предел равен:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$

Функция $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$ является разностью двух функций. Функция $y=2x$ непрерывна везде. Функция $y=\operatorname{tg}x$ непрерывна на своей области определения, которая исключает точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$ не является точкой разрыва для $\operatorname{tg}x$, поэтому функция $f(x)$ непрерывна в этой точке. Предел можно найти прямой подстановкой.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} (2x - \operatorname{tg}x) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3})$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\sqrt{3}$.

$2 \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$.

36.16. Найдите предел последовательности:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \sqrt{n^2 - 1}}{n}$;

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \sqrt{n^2 + 1}}{n}$;

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n}$;

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\arcsin 2n}{n}$.

1) Для нахождения предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \sqrt{n^2 - 1}}{n} $ мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$ в знаменателе, то есть на $n$.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \sqrt{n^2 - 1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n} - \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} \right) $

Для $ n > 0 $, мы можем внести $n$ под знак корня как $n^2$:

$ \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} $

Подставим это обратно в предел:

$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n} - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \right) $

Теперь воспользуемся свойствами пределов. Мы знаем, что $ \lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^p} = 0 $ для $ p > 0 $.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0 $

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1 $

Следовательно, искомый предел равен:

$ 0 - 1 = -1 $

Ответ: $-1$

2) Найдем предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \sqrt{n^2 + 1}}{n} $. Здесь также имеется неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $n$.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \sqrt{n^2 + 1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n} \right) $

Так же, как и в предыдущем примере, упростим второе слагаемое:

$ \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n} = \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 + 1}{n^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} $

Подставим обратно:

$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \right) $

Вычислим пределы отдельных слагаемых:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0 $

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1 $

Таким образом, предел равен:

$ 0 + 1 = 1 $

Ответ: $1$

3) Рассмотрим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n} $.

Проанализируем поведение числителя и знаменателя при $ n \to \infty $.

Знаменатель $n$ стремится к бесконечности: $ \lim_{n \to \infty} n = \infty $.

Числитель $ \operatorname{arctg} n $ является ограниченной функцией. Область значений арктангенса - интервал $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $. При $ n \to \infty $, значение $ \operatorname{arctg} n $ стремится к $ \frac{\pi}{2} $.

$ \lim_{n \to \infty} \operatorname{arctg} n = \frac{\pi}{2} $

Таким образом, мы имеем предел вида "константа, деленная на бесконечность". Предел такой последовательности равен нулю.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n} = \frac{\lim_{n \to \infty} \operatorname{arctg} n}{\lim_{n \to \infty} n} = \frac{\pi/2}{\infty} = 0 $

Также можно применить теорему о двух милиционерах (теорему о сжатии). Для любого $n$ справедливо неравенство:

$ -\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} n < \frac{\pi}{2} $

При $n > 0$ разделим все части на $n$:

$ -\frac{\pi}{2n} < \frac{\operatorname{arctg} n}{n} < \frac{\pi}{2n} $

Так как $ \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{\pi}{2n}\right) = 0 $ и $ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{2n} = 0 $, то по теореме о сжатии, предел "зажатой" между ними последовательности также равен нулю.

Ответ: $0$

4) Рассмотрим предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{\operatorname{arcsin} 2n}{n} $.

Область определения функции арксинус $ \operatorname{arcsin}(x) $ - это отрезок $ [-1, 1] $.

Следовательно, выражение $ \operatorname{arcsin} 2n $ определено только при условии $ -1 \le 2n \le 1 $, что эквивалентно $ -0.5 \le n \le 0.5 $.

Понятие предела последовательности при $ n \to \infty $ предполагает, что член последовательности $ a_n $ определен для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого номера $N$.

В данном случае, выражение $ \frac{\operatorname{arcsin} 2n}{n} $ не определено ни для одного натурального числа $n \ge 1$, так как для любого такого $n$ значение $2n$ будет больше $1$ и, следовательно, выйдет за область определения арксинуса.

Поскольку последовательность не определена для $ n \to \infty $, ее предел не существует.

Ответ: предел не существует.