Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Какой формулой связаны координаты точек $B_0 (x_0; y_0)$ и $B_2 (x_2; y_2)$, если точка $B_2 (x_2; y_2)$ получена из точки $B_0 (x_0; y_0)$ ее смещением (сдвигом, параллельным переносом) вдоль оси $O_y$ вниз на $n$ единиц, где $n > 0$ (рис. 3.10)?

Чтобы определить формулу, связывающую координаты точек $B_0(x_0; y_0)$ и $B_2(x_2; y_2)$, необходимо проанализировать заданное преобразование — смещение (параллельный перенос) точки $B_0$.

1. Анализ смещения по оси абсцисс ($Ox$):

В условии сказано, что смещение происходит "вдоль оси $Oy$". Это означает, что движение осуществляется строго вертикально. Горизонтального смещения (вдоль оси $Ox$) не происходит. Следовательно, координата $x$ начальной точки остается неизменной. Таким образом, абсцисса точки $B_2$ равна абсциссе точки $B_0$.

Математически это выражается формулой:$x_2 = x_0$

2. Анализ смещения по оси ординат ($Oy$):

Смещение происходит "вдоль оси $Oy$ вниз на $n$ единиц". Движение "вниз" по оси ординат соответствует уменьшению значения координаты $y$. Величина этого уменьшения равна $n$, причем по условию $n > 0$. Чтобы найти новую ординату $y_2$, необходимо из первоначальной ординаты $y_0$ вычесть величину сдвига $n$.

Математически это выражается формулой:$y_2 = y_0 - n$

Таким образом, мы получили две формулы, которые связывают координаты исходной и конечной точек.

Ответ: Координаты точек $B_0(x_0; y_0)$ и $B_2(x_2; y_2)$ связаны формулами: $x_2 = x_0$ и $y_2 = y_0 - n$.

3. Остаток от деления многочлена $x^5 - 5x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x - 8$ на двучлен $(x + 1)$ равен:

A) 9; B) -4; C) 10; D) -9.

3. Для нахождения остатка от деления многочлена на двучлен используется теорема Безу (или теорема об остатке). Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть остаток $R = P(a)$.

В данном задании нам нужно найти остаток от деления многочлена $P(x) = x^5 - 5x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x - 8$ на двучлен $(x+1)$.

Представим делитель $(x+1)$ в стандартной для теоремы форме $(x-a)$. В данном случае $x+1 = x - (-1)$, следовательно, значение $a$ равно $-1$.

Теперь, чтобы найти остаток, нужно вычислить значение многочлена $P(x)$ при $x = -1$:

$P(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^4 - 3(-1)^3 + 4(-1)^2 + 2(-1) - 8$

Выполним последовательно все вычисления:

$P(-1) = -1 - 5(1) - 3(-1) + 4(1) - 2 - 8$

$P(-1) = -1 - 5 + 3 + 4 - 2 - 8$

Сгруппируем и сложим числа:

$P(-1) = (-1 - 5 - 2 - 8) + (3 + 4) = -16 + 7 = -9$

Таким образом, остаток от деления исходного многочлена на двучлен $(x+1)$ равен -9. Сравнив результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: -9.

4. Используя схему Горнера, найдите значения параметра $p$, при которых число 2 является корнем многочлена $P(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 + px - 8$:

A) $p=3$;

B) $p=-3$;

C) $p=-4$;

D) $p=4$.

Для того чтобы число 2 было корнем многочлена $P(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 + px - 8$, необходимо и достаточно, чтобы значение многочлена при $x=2$ было равно нулю, то есть $P(2)=0$. Согласно теореме Безу, значение $P(2)$ равно остатку от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-2)$.

Мы можем найти этот остаток, используя схему Горнера. Для этого выпишем коэффициенты многочлена $P(x)$ в порядке убывания степеней переменной $x$ в первую строку таблицы. Это коэффициенты $1, -1, 2, p, -8$. Слева от них запишем корень, на который проверяем — число 2.

Процесс вычисления по схеме Горнера выглядит следующим образом:

1. Первый коэффициент (1) спускаем в нижнюю строку без изменений.

2. Умножаем число из нижней строки (1) на корень (2) и складываем со следующим коэффициентом из верхней строки (-1): $1 \cdot 2 + (-1) = 1$. Записываем результат (1) в нижнюю строку.

3. Повторяем операцию: $1 \cdot 2 + 2 = 4$. Записываем 4 в нижнюю строку.

4. Снова повторяем: $4 \cdot 2 + p = 8+p$. Записываем $p+8$ в нижнюю строку.

5. И последний раз: $(p+8) \cdot 2 + (-8) = 2p + 16 - 8 = 2p+8$. Это и есть остаток от деления.

Визуально в виде таблицы это выглядит так:

| 1 | -1 | 2 | p | -8

2 | | 2 | 2 | 8 | 2p + 16

—————————————————————————————————————

| 1 | 1 | 4 | p + 8 | 2p + 8

Поскольку 2 является корнем многочлена, остаток от деления должен быть равен нулю. Приравниваем полученный остаток к нулю и решаем уравнение относительно $p$:

$2p + 8 = 0$

$2p = -8$

$p = \frac{-8}{2}$

$p = -4$

Таким образом, при $p = -4$ число 2 является корнем данного многочлена.

Ответ: $p = -4$.

5. Многочлен $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ имеет корни:

A) $-3; \pm2;$

B) $-2; 3;$

C) $-3; \pm1;$

D) $-3; 2.$

Чтобы найти корни многочлена $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$, необходимо решить уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$.

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся методом разложения на множители путем группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$, а во второй — $-4$:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2 - 4)(x + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$

2) $x^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно решить, перенеся 4 в правую часть: $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Таким образом, корнями многочлена являются числа $-3$, $2$ и $-2$. Сравнивая полученные корни с предложенными вариантами, видим, что они соответствуют варианту А).

Ответ: A) $-3; \pm 2$.

6. Многочлен четвертого порядка имеет корни $ \pm1 $; 2 и (-3). Тогда этим многочленом является:

A) $x^4 + x^3 + 11x^2 + 6x - 12;$

B) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6;$

C) $x^4 - x^3 - x^2 + 7x - 6;$

D) $x^4 - x^3 - 11x^2 + 6x - 8.$

Чтобы определить, какой из предложенных многочленов является верным, необходимо проверить, обращается ли каждый из них в ноль при подстановке заданных корней: $1, -1, 2$ и $-3$. Если число $x_0$ является корнем многочлена $P(x)$, то должно выполняться равенство $P(x_0) = 0$.

A) $P(x) = x^4 + x^3 + 11x^2 + 6x - 12$

Проверим, является ли $x=1$ корнем.$P(1) = 1^4 + 1^3 + 11 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 12 = 1 + 1 + 11 + 6 - 12 = 7$.Так как $P(1) \neq 0$, этот вариант не является правильным.

B) $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

Проверим последовательно все четыре корня:

Для $x=1$: $P(1) = 1^4 + 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$.

Для $x=-1$: $P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 - (-1) + 6 = 1 - 1 - 7(1) + 1 + 6 = 0$.

Для $x=2$: $P(2) = 2^4 + 2^3 - 7 \cdot 2^2 - 2 + 6 = 16 + 8 - 7(4) - 2 + 6 = 24 - 28 - 2 + 6 = 0$.

Для $x=-3$: $P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 - 7 \cdot (-3)^2 - (-3) + 6 = 81 - 27 - 7(9) + 3 + 6 = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$.

Все четыре числа являются корнями данного многочлена, следовательно, это правильный ответ.

C) $P(x) = x^4 - x^3 - x^2 + 7x - 6$

Проверим, является ли $x=-1$ корнем.$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - (-1)^2 + 7(-1) - 6 = 1 - (-1) - 1 - 7 - 6 = 1 + 1 - 1 - 7 - 6 = -12$.Так как $P(-1) \neq 0$, этот вариант не является правильным.

D) $P(x) = x^4 - x^3 - 11x^2 + 6x - 8$

Проверим, является ли $x=1$ корнем.$P(1) = 1^4 - 1^3 - 11 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 8 = 1 - 1 - 11 + 6 - 8 = -13$.Так как $P(1) \neq 0$, этот вариант не является правильным.

Единственный многочлен, который имеет все указанные корни, — это многочлен из варианта B).

Ответ: B) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

7. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - 2x - 8$ равен $2x - 3$. Значение выражения $P(4) - 2P(-2)$ равно:

A) 18;

B) 9;

C) -19;

D) 19.

По условию, остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - 2x - 8$ равен $2x - 3$.

Это означает, что многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$P(x) = (x^2 - 2x - 8) \cdot Q(x) + (2x - 3)$, где $Q(x)$ — это частное от деления.

Теорема об остатке (или теорема Безу) гласит, что значение многочлена $P(x)$ в точке $a$, которая является корнем делителя, равно значению остатка в этой же точке. Если мы подставим в равенство корень делителя $x^2 - 2x - 8$, то первый член $(x^2 - 2x - 8) \cdot Q(x)$ обратится в ноль, и значение $P(x)$ будет равно значению остатка $R(x) = 2x - 3$ в этой точке.

Сначала найдем корни трехчлена $x^2 - 2x - 8$, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета (сумма корней равна 2, произведение равно -8) или через дискриминант ($D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$), находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Именно для этих значений $x$ нам и нужно найти значения многочлена $P(x)$, чтобы вычислить выражение $P(4) - 2P(-2)$.

Подставим $x = 4$ в основное равенство:

$P(4) = (4^2 - 2 \cdot 4 - 8) \cdot Q(4) + (2 \cdot 4 - 3)$

$P(4) = (16 - 8 - 8) \cdot Q(4) + (8 - 3)$

$P(4) = 0 \cdot Q(4) + 5$

$P(4) = 5$

Теперь подставим $x = -2$ в то же равенство:

$P(-2) = ((-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8) \cdot Q(-2) + (2 \cdot (-2) - 3)$

$P(-2) = (4 + 4 - 8) \cdot Q(-2) + (-4 - 3)$

$P(-2) = 0 \cdot Q(-2) - 7$

$P(-2) = -7$

Мы нашли, что $P(4) = 5$ и $P(-2) = -7$.

Осталось вычислить значение искомого выражения $P(4) - 2P(-2)$:

$P(4) - 2P(-2) = 5 - 2 \cdot (-7) = 5 - (-14) = 5 + 14 = 19$.

Ответ: 19.

8. Используя обобщенную теорему Виета, найдите многочлен третьей степени, корни которого принадлежат множеству $\{-1; 1; 3\}$:

A) $x^3 - 2x^2 + 7x - 3;$

B) $x^3 - x^2 - 7x + 3;$

C) $x^3 - 3x^2 - x + 3;$

D) $x^3 - 3x^2 + 5x - 3.$

Для того чтобы найти многочлен третьей степени, корни которого принадлежат множеству $\{-1; 1; 3\}$, мы воспользуемся обобщенной теоремой Виета. Пусть корни многочлена будут $x_1 = -1$, $x_2 = 1$ и $x_3 = 3$. Искомый многочлен будем искать в приведенном виде $P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$, поскольку все предложенные варианты имеют старший коэффициент, равный 1.

Согласно теореме Виета для многочлена третьей степени, коэффициенты $b, c, d$ связаны с корнями следующими соотношениями:

$b = -(x_1 + x_2 + x_3)$

$c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$

$d = -(x_1x_2x_3)$

Вычислим значения коэффициентов:

Коэффициент $b$ при $x^2$:

$b = -(-1 + 1 + 3) = -3$.

Коэффициент $c$ при $x$:

$c = (-1)(1) + (-1)(3) + (1)(3) = -1 - 3 + 3 = -1$.

Свободный член $d$:

$d = -((-1)(1)(3)) = -(-3) = 3$.

Таким образом, искомый многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов.

A) $x^3 - 2x^2 + 7x - 3$

Коэффициенты не совпадают с вычисленными ($b=-2 \ne -3$, $c=7 \ne -1$, $d=-3 \ne 3$). Вариант неверный.

B) $x^3 - x^2 - 7x + 3$

Коэффициенты не совпадают с вычисленными ($b=-1 \ne -3$, $c=-7 \ne -1$). Вариант неверный.

C) $x^3 - 3x^2 - x + 3$

Все коэффициенты ($b=-3$, $c=-1$, $d=3$) полностью совпадают с вычисленными. Вариант верный.

D) $x^3 - 3x^2 + 5x - 3$

Коэффициенты $c$ и $d$ не совпадают с вычисленными ($c=5 \ne -1$, $d=-3 \ne 3$). Вариант неверный.

Ответ: C) $x^3 - 3x^2 - x + 3$

9. Используя теорему Виета, решите уравнение $x^3 - 7x^2 = 8 - 14x$:

A) $\{-2; 1; 4\}$;B) $\{-1; 3; 4\}$;C) $\{-4; 1; 3\}$;D) $\{1; 2; 4\}$.

Для того чтобы решить уравнение $x^3 - 7x^2 = 8 - 14x$ с помощью теоремы Виета, необходимо сначала привести его к стандартному виду $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0$

Коэффициенты данного кубического уравнения равны: $a=1$, $b=-7$, $c=14$, $d=-8$.

Теорема Виета для кубического уравнения с корнями $x_1$, $x_2$, $x_3$ устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Применив эти формулы к нашему уравнению, получим:

$x_1 + x_2 + x_3 = -(\frac{-7}{1}) = 7$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{14}{1} = 14$

$x_1x_2x_3 = -(\frac{-8}{1}) = 8$

Теперь необходимо проверить, какой из предложенных наборов чисел удовлетворяет этим трем условиям.

A) {-2; 1; 4}

Сумма корней: $-2 + 1 + 4 = 3$. Это значение не равно 7, поэтому данный вариант не является решением.

B) {-1; 3; 4}

Сумма корней: $-1 + 3 + 4 = 6$. Это значение не равно 7, поэтому данный вариант не является решением.

C) {-4; 1; 3}

Сумма корней: $-4 + 1 + 3 = 0$. Это значение не равно 7, поэтому данный вариант не является решением.

D) {1; 2; 4}

Проверим все три условия для этого набора чисел:

1. Сумма корней: $1 + 2 + 4 = 7$. Условие выполняется.

2. Сумма попарных произведений: $(1 \cdot 2) + (1 \cdot 4) + (2 \cdot 4) = 2 + 4 + 8 = 14$. Условие выполняется.

3. Произведение корней: $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$. Условие выполняется.

Все три условия теоремы Виета выполняются. Следовательно, числа 1, 2 и 4 являются корнями данного уравнения.

Ответ: D) {1; 2; 4}.

10. Один из корней многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + p$ равен $(-1)$. Найдите этот многочлен и все его действительные корни:

A) $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$; $\left\{1; \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$;

B) $x^3 - 2x^2 + 3x + 6$; $\left\{-1; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$;

C) $x^3 - 2x^2 + 3x + 2$; $\left\{1; \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$;

D) $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$; $\left\{1; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

По условию задачи, нам дан многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + p$, и известно, что один из его корней равен -1. Если $x = -1$ является корнем многочлена, то при подстановке этого значения в многочлен результат должен быть равен нулю, то есть $P(-1) = 0$.

Найдем значение параметра $p$, подставив $x = -1$ в уравнение многочлена:

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1) + p = 0$

Выполним вычисления:

$-1 - 2(1) - 3 + p = 0$

$-1 - 2 - 3 + p = 0$

$-6 + p = 0$

$p = 6$

Таким образом, мы нашли искомый многочлен: $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 6$.

Теперь найдем все действительные корни этого многочлена. Поскольку мы знаем, что $x = -1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка. Воспользуемся методом деления многочленов (например, делением в столбик или схемой Горнера).

Деление $x^3 - 2x^2 + 3x + 6$ на $(x+1)$ дает в частном квадратный трехчлен:

$(x^3 - 2x^2 + 3x + 6) : (x+1) = x^2 - 3x + 6$

Следовательно, многочлен можно представить в виде произведения:

$P(x) = (x+1)(x^2 - 3x + 6)$

Остальные корни многочлена являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 3x + 6 = 0$. Найдем их, вычислив дискриминант $\Delta$.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант равен $\Delta = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=6$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант $\Delta = -15$ меньше нуля ($\Delta < 0$), квадратное уравнение $x^2 - 3x + 6 = 0$ не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными.

Таким образом, единственный действительный корень исходного многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 6$ - это $x = -1$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа.Наш многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 6$ соответствует многочлену в варианте B. Однако в варианте B указаны корни $\{-1; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\}$. Эти корни являются решениями уравнения $(x+1)(x^2-3x+1)=0$, а не нашего уравнения. В предложенных вариантах ответов допущена ошибка. Тем не менее, единственным вариантом, где правильно определен сам многочлен, является вариант B.

Ответ: B