Страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите, что график функции $y = f(x + n)$, где $n > 0$, можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью его смещения (сдвига, параллельного переноса) вдоль оси Ox на $n$ единиц влево (рис. 3.6).

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево

Рис. 3.5

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево

Рис. 3.6

Для доказательства того, что график функции $y = f(x + n)$ (где $n > 0$) получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом влево на $n$ единиц, рассмотрим произвольную точку $A_0(x_0; y_0)$, которая лежит на графике функции $y = f(x)$.

По определению, если точка принадлежит графику, ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Следовательно, для точки $A_0$ выполняется равенство:

$y_0 = f(x_0)$

Теперь найдем, какой должна быть абсцисса $x_1$ точки $A_1(x_1; y_1)$ на графике функции $y = f(x + n)$, чтобы ее ордината была такой же, как у точки $A_0$, то есть $y_1 = y_0$.

Координаты точки $A_1$ должны удовлетворять уравнению $y_1 = f(x_1 + n)$. Подставим в это уравнение $y_1 = y_0$:

$y_0 = f(x_1 + n)$

Мы имеем два равенства: $y_0 = f(x_0)$ и $y_0 = f(x_1 + n)$. Из них следует, что:

$f(x_0) = f(x_1 + n)$

Это равенство будет верным, если аргументы функции $f$ равны, то есть:

$x_0 = x_1 + n$

Выразим из этого равенства $x_1$:

$x_1 = x_0 - n$

Итак, мы установили, что каждой произвольной точке $A_0(x_0; y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $A_1(x_0 - n; y_0)$ на графике $y = f(x + n)$.

Сравним координаты этих двух точек: $A_0(x_0; y_0)$ и $A_1(x_0 - n; y_0)$. Ординаты (значения по оси $y$) у них одинаковы, а абсцисса точки $A_1$ на $n$ единиц меньше абсциссы точки $A_0$. Геометрически это означает, что точка $A_1$ получена из точки $A_0$ путем параллельного переноса на $n$ единиц влево вдоль оси $Ox$.

Поскольку точка $A_0$ была выбрана произвольно, это рассуждение справедливо для всех точек графика. Следовательно, весь график функции $y = f(x + n)$ получается из графика функции $y = f(x)$ с помощью параллельного переноса (сдвига) на $n$ единиц влево вдоль оси $Ox$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$, соответствующая точка на графике $y = f(x+n)$ с той же ординатой $y_0$ будет иметь абсциссу $x_1 = x_0 - n$. Это соответствует смещению каждой точки графика на $n$ единиц влево по оси $Ox$.

ОБЪЯСНИТЕ

Какой формулой связаны координаты точек $A_0(x_0; y_0)$ и $A_2(x_2; y_2)$, если точка $A_2(x_2; y_2)$ получена из точки $A_0(x_0; y_0)$ ее смещением (сдвигом, параллельным переносом) вдоль оси $Ox$ влево на $n$ единиц, где $n > 0$ (рис. 3.5)?

По условию задачи, точка $A_2(x_2; y_2)$ получена из точки $A_0(x_0; y_0)$ путем параллельного переноса (сдвига). Разберем, как этот сдвиг влияет на координаты точки.

Перемещение происходит "вдоль оси $Ox$". Это означает, что точка сдвигается только в горизонтальном направлении. Вертикального смещения нет, поэтому ордината точки (координата $y$) остается неизменной. Отсюда следует первая формула: $y_2 = y_0$.

Далее, сдвиг вдоль оси $Ox$ осуществляется "влево на $n$ единиц", при этом $n > 0$. В декартовой системе координат движение влево соответствует уменьшению значения абсциссы (координаты $x$). Следовательно, чтобы найти новую абсциссу $x_2$, нужно из начальной абсциссы $x_0$ вычесть величину сдвига $n$. Это дает нам вторую формулу: $x_2 = x_0 - n$.

Таким образом, мы получили пару формул, которые связывают координаты исходной точки $A_0(x_0; y_0)$ и конечной точки $A_2(x_2; y_2)$.

Ответ: $x_2 = x_0 - n$, $y_2 = y_0$.

Графики функций $y = x^2 - 3$ и $y = x^2 + 3$ строятся на основе графика базовой функции $y = x^2$ (параболы с вершиной в начале координат) с помощью преобразования, называемого параллельным переносом (сдвигом) вдоль оси ординат ($Oy$). Это преобразование соответствует общему правилу построения графика функции $y = f(x) + c$ из графика $y = f(x)$:

• если $c > 0$, график функции $y = f(x)$ сдвигается на $c$ единиц вверх вдоль оси $Oy$;

• если $c < 0$, график функции $y = f(x)$ сдвигается на $|c|$ единиц вниз вдоль оси $Oy$.

Построение графика функции $y = x^2 - 3$

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = -3$. Так как значение $c$ отрицательно, для построения графика нужно сдвинуть график исходной функции $y = x^2$ вниз вдоль оси $Oy$ на $|-3| = 3$ единицы. При этом каждая точка графика с координатами $(x_0, y_0)$ перейдет в точку с координатами $(x_0, y_0 - 3)$. В частности, вершина параболы из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -3)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 3$ был построен путем параллельного переноса графика функции $y = x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

Построение графика функции $y = x^2 + 3$

Данная функция также имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$, но теперь $c = +3$. Так как значение $c$ положительно, для построения графика нужно сдвинуть график исходной функции $y = x^2$ вверх вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы. При этом каждая точка графика с координатами $(x_0, y_0)$ перейдет в точку с координатами $(x_0, y_0 + 3)$. В частности, вершина параболы из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 3$ был построен путем параллельного переноса графика функции $y = x^2$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

35.10. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых найдутся два различных корня уравнения $x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$, которые будут также корнями уравнения $x^3 - 8x + b = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных корня уравнения $x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$, которые также являются корнями уравнения $x^3 - 8x + b = 0$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ являются корнями обоих уравнений, они удовлетворяют следующей системе:

$x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$

$x^3 - 8x + b = 0$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x^3$. Любой общий корень должен удовлетворять и полученному разностному уравнению:

$(x^3 - 5x^2 + 7x - a) - (x^3 - 8x + b) = 0$

$-5x^2 + 15x - (a + b) = 0$

Умножим на $-1$:

$5x^2 - 15x + a + b = 0$

По условию, это квадратное уравнение должно иметь два различных корня, а именно $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета для этого квадратного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-15)/5 = 3$

Произведение корней: $x_1 x_2 = (a + b)/5$

Теперь рассмотрим исходные кубические уравнения. Пусть $x_3$ — третий корень первого уравнения, а $x_4$ — третий корень второго уравнения.

Для уравнения $x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$ по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -(-5)/1 = 5$

2. Сумма попарных произведений корней: $x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 7/1 = 7$

3. Произведение корней: $x_1 x_2 x_3 = -(-a)/1 = a$

Для уравнения $x^3 + 0x^2 - 8x + b = 0$ по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_4 = -0/1 = 0$

2. Сумма попарных произведений корней: $x_1 x_2 + x_1 x_4 + x_2 x_4 = -8/1 = -8$

3. Произведение корней: $x_1 x_2 x_4 = -b/1 = -b$

Используем известные нам соотношения. Из суммы корней первого кубического уравнения:

$(x_1 + x_2) + x_3 = 5$

Подставляем $x_1 + x_2 = 3$:

$3 + x_3 = 5 \Rightarrow x_3 = 2$

Из суммы корней второго кубического уравнения:

$(x_1 + x_2) + x_4 = 0$

Подставляем $x_1 + x_2 = 3$:

$3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_4 = -3$

Теперь используем формулы для попарных произведений корней, чтобы найти $x_1 x_2$.

Для первого уравнения:

$x_1 x_2 + x_3(x_1 + x_2) = 7$

Подставляем $x_3 = 2$ и $x_1 + x_2 = 3$:

$x_1 x_2 + 2(3) = 7 \Rightarrow x_1 x_2 + 6 = 7 \Rightarrow x_1 x_2 = 1$

Проверим согласованность со вторым уравнением:

$x_1 x_2 + x_4(x_1 + x_2) = -8$

Подставляем $x_1 x_2 = 1$, $x_4 = -3$ и $x_1 + x_2 = 3$:

$1 + (-3)(3) = 1 - 9 = -8$. Равенство $-8 = -8$ верно, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Теперь, зная произведение $x_1 x_2 = 1$, мы можем найти параметры $a$ и $b$.

Из формулы для произведения корней первого уравнения:

$a = x_1 x_2 x_3 = (1)(2) = 2$

Из формулы для произведения корней второго уравнения:

$-b = x_1 x_2 x_4 = (1)(-3) = -3 \Rightarrow b = 3$

Мы нашли единственную пару значений $(a, b) = (2, 3)$. Проверим, действительно ли при этих значениях существуют два различных общих корня. Уравнение для общих корней $5x^2 - 15x + a + b = 0$ примет вид:

$5x^2 - 15x + 2 + 3 = 0 \Rightarrow 5x^2 - 15x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a=2, b=3$.

35.11. Известно, что уравнение $x^3 - 2ax^2 + (2a - 3)x + 2 = 0$ имеет три различных действительных корня. Один из корней равен значению суммы двух других. Найдите значение параметра $a$ и корни уравнения.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — три различных действительных корня уравнения $x^3 - 2ax^2 + (2a - 3)x + 2 = 0$. По условию, один из корней равен сумме двух других. Без ограничения общности, пусть $x_1 = x_2 + x_3$.

Для решения задачи воспользуемся формулами Виета для кубического уравнения. Для данного уравнения они имеют вид:

$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 2a - 3$

$x_1x_2x_3 = -2$

Используем первое соотношение Виета и условие $x_2 + x_3 = x_1$. Подставим $x_2+x_3$ в сумму всех корней:

$x_1 + (x_2 + x_3) = 2a$

$x_1 + x_1 = 2a$

$2x_1 = 2a$

$x_1 = a$

Это означает, что один из корней уравнения равен значению параметра $a$. Следовательно, значение $x=a$ должно удовлетворять исходному уравнению. Подставим его:

$a^3 - 2a(a^2) + (2a - 3)a + 2 = 0$

$a^3 - 2a^3 + 2a^2 - 3a + 2 = 0$

$-a^3 + 2a^2 - 3a + 2 = 0$

Умножим на -1, чтобы получить приведенное уравнение относительно $a$:

$a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0$

Найдем целый корень этого уравнения среди делителей свободного члена (-2), то есть среди чисел $\pm1, \pm2$. Проверка показывает, что $a=1$ является корнем:

$1^3 - 2(1^2) + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, зная, что $(a-1)$ является одним из них:

$(a-1)(a^2 - a + 2) = 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $a^2 - a + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, уравнение $a^2 - a + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Таким образом, единственное действительное значение параметра — $a=1$.

Теперь, когда мы нашли $a=1$, найдем корни уравнения. Подставим $a=1$ в исходное уравнение:

$x^3 - 2(1)x^2 + (2(1) - 3)x + 2 = 0$

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Мы уже установили, что один из корней равен $a$, то есть $x_1=1$. Чтобы найти остальные корни, разложим многочлен на множители, сгруппировав слагаемые:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x=1, x=-1, x=2$.

Проверим выполнение условий. Корни -1, 1, 2 являются тремя различными действительными числами. Один из них, 1, равен сумме двух других: $1 = 2 + (-1)$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: $a=1$; корни уравнения: $-1, 1, 2$.

35.12. Постройте график функции:

1) $y=\sqrt{x+2}$;

2) $y=-\sqrt{x-3}$;

3) $y=\sqrt{x+2}-2$;

4) $y=3-\sqrt{x-2}$.

1) Построим график функции $y = \sqrt{x+2}$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс. Данная функция имеет вид $y = f(x-h)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $h = -2$. Это означает, что график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Начальная точка графика (вершина) находится при $x+2 = 0$, то есть $x = -2$. В этой точке $y = \sqrt{-2+2} = 0$. Координаты начальной точки: $(-2; 0)$.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:

При $x = -1$, $y = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-1; 1)$.

При $x = 2$, $y = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2; 2)$.

При $x = 7$, $y = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(7; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Начало графика в точке $(-2; 0)$.

2) Построим график функции $y = -\sqrt{x-3}$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ в два этапа. Сначала сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, получая график $y=\sqrt{x-3}$. Затем, так как перед корнем стоит знак минус, мы отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox.

Найдем область определения функции: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Область определения: $D(y) = [3; +\infty)$.

Начальная точка графика находится при $x-3 = 0$, то есть $x = 3$. В этой точке $y = -\sqrt{3-3} = 0$. Координаты начальной точки: $(3; 0)$.

Найдем координаты нескольких дополнительных точек:

При $x = 4$, $y = -\sqrt{4-3} = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(4; -1)$.

При $x = 7$, $y = -\sqrt{7-3} = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(7; -2)$.

При $x = 12$, $y = -\sqrt{12-3} = -\sqrt{9} = -3$. Точка $(12; -3)$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{x-3}$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и затем отраженным симметрично относительно оси Ox. Начало графика в точке $(3; 0)$.

3) Построим график функции $y = \sqrt{x+2} - 2$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью двух параллельных переносов. Сначала сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox, получая график $y=\sqrt{x+2}$. Затем сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Найдем область определения функции: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Начальная точка графика находится при $x+2 = 0$, то есть $x = -2$. В этой точке $y = \sqrt{-2+2} - 2 = 0 - 2 = -2$. Координаты начальной точки: $(-2; -2)$.

Найдем координаты нескольких дополнительных точек:

При $x = -1$, $y = \sqrt{-1+2} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-1; -1)$.

При $x = 2$, $y = \sqrt{2+2} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

При $x = 7$, $y = \sqrt{7+2} - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(7; 1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2} - 2$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Начало графика в точке $(-2; -2)$.

4) Построим график функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$.

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -\sqrt{x-2} + 3$. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ в три этапа:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить $y=\sqrt{x-2}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox, чтобы получить $y=-\sqrt{x-2}$.

3. Сдвиг последнего графика на 3 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить итоговый график $y=-\sqrt{x-2} + 3$.

Найдем область определения функции: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения: $D(y) = [2; +\infty)$.

Начальная точка графика находится при $x-2 = 0$, то есть $x = 2$. В этой точке $y = 3 - \sqrt{2-2} = 3 - 0 = 3$. Координаты начальной точки: $(2; 3)$.

Найдем координаты нескольких дополнительных точек:

При $x = 3$, $y = 3 - \sqrt{3-2} = 3 - 1 = 2$. Точка $(3; 2)$.

При $x = 6$, $y = 3 - \sqrt{6-2} = 3 - 2 = 1$. Точка $(6; 1)$.

При $x = 11$, $y = 3 - \sqrt{11-2} = 3 - 3 = 0$. Точка $(11; 0)$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы вправо, отраженным относительно оси Ox и затем сдвинутым на 3 единицы вверх. Начало графика в точке $(2; 3)$.

35.13. Постройте график функции $y = |\sqrt{x+2}-1|$. Используя график функции, найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки монотонности функции;

3) значения параметра $p$, при которых уравнение $p = |\sqrt{x+2}-1|$ имеет два корня.

Для построения графика функции $y = |\sqrt{x+2}-1|$ выполним последовательные преобразования. За основу возьмем график функции $y=\sqrt{x}$. Сначала сдвинем его на 2 единицы влево по оси Ox, чтобы получить график $y=\sqrt{x+2}$. Затем сдвинем полученный график на 1 единицу вниз по оси Oy, получив $y=\sqrt{x+2}-1$. Начальная точка этого графика находится в $(-2, -1)$, а ось абсцисс он пересекает в точке $x=-1$.

Финальный шаг — применение модуля. Часть графика функции $y=\sqrt{x+2}-1$, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси. Неравенство $\sqrt{x+2}-1 < 0$ выполняется при $x < -1$. Таким образом, на промежутке $[-2, -1)$ график отражается вверх. Точка $(-2, -1)$ переходит в точку $(-2, 1)$, а точка $(-1, 0)$ становится точкой минимума. При $x \ge -1$ график $y = \sqrt{x+2}-1$ остается без изменений, так как на этом промежутке $y \ge 0$.

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x=0$ в уравнение функции:$y = |\sqrt{0+2}-1| = |\sqrt{2}-1|$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; \sqrt{2}-1)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox) приравняем функцию к нулю:$y=0 \implies |\sqrt{x+2}-1| = 0$.Это уравнение равносильно $\sqrt{x+2}-1 = 0$, откуда $\sqrt{x+2} = 1$.Возведя обе части в квадрат, получаем $x+2=1$, следовательно $x=-1$.Координаты точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-1; 0)$; с осью Oy: $(0; \sqrt{2}-1)$.

2) промежутки монотонности функции;

Анализируя построенный график, можно определить промежутки монотонности.Функция состоит из двух частей, сходящихся в точке минимума $x=-1$.На промежутке $[-2, -1]$ график функции убывает от значения $y=1$ в точке $x=-2$ до значения $y=0$ в точке $x=-1$.На промежутке $[-1, +\infty)$ график функции возрастает от значения $y=0$ в точке $x=-1$.Следовательно, функция убывает на промежутке $[-2, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-2, -1]$, возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

3) значения параметра p, при которых уравнение $p = |\sqrt{x+2}-1|$ имеет два корня.

Количество корней уравнения $p = |\sqrt{x+2}-1|$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=|\sqrt{x+2}-1|$ и горизонтальной прямой $y=p$.Рассмотрим поведение графика $y=|\sqrt{x+2}-1|$:- Наименьшее значение функции равно 0 (в точке $x=-1$).- В начальной точке области определения $x=-2$, значение функции $y=1$.- При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.Теперь проанализируем количество пересечений прямой $y=p$ с графиком в зависимости от $p$:- При $p<0$: нет точек пересечения (0 корней).- При $p=0$: одна точка пересечения $(-1, 0)$ (1 корень).- При $01$: прямая пересекает только возрастающую ветвь (1 корень).Таким образом, уравнение имеет ровно два корня, когда прямая $y=p$ находится строго выше минимума ($p>0$) и не выше локального максимума в начальной точке ($p \le 1$).

Ответ: $p \in (0, 1]$.

35.14. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{2x^2-3x+1}+\sqrt{x^2-9};$

2) $y=\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{2x^2-8};$

3) $y=\sqrt{x^2+4x-5}+\sqrt{16-x^2};$

4) $y=\sqrt{5x^2+4x-12}+\sqrt{36-x^2}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + \sqrt{x^2 - 9}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2x^2-3x+1 \ge 0 \\ x^2-9 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3-\sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{3+\sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \le 0.5$ или $x \ge 1$. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0.5] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 9 \ge 0$.

Это неравенство равносильно $x^2 \ge 9$, что означает $|x| \ge 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty; 0.5] \cup [1; +\infty)) \cap ((-\infty; -3] \cup [3; +\infty))$.

Пересечение этих множеств дает $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{2x^2 - 8}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2-4x+3 \ge 0 \\ 2x^2-8 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y=x^2 - 4x + 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 3$. Решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 8 \ge 0$.

$2x^2 \ge 8 \implies x^2 \ge 4 \implies |x| \ge 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 1] \cup [3; +\infty)) \cap ((-\infty; -2] \cup [2; +\infty))$.

Пересечением является множество $x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x - 5} + \sqrt{16 - x^2}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2+4x-5 \ge 0 \\ 16-x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Парабола $y=x^2 + 4x - 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -5$ или $x \ge 1$. Решение: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $16 - x^2 \ge 0$.

$16 \ge x^2 \implies x^2 \le 16 \implies |x| \le 4$.

Решение второго неравенства: $x \in [-4; 4]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -5] \cup [1; +\infty)) \cap [-4; 4]$.

Интервал $[-4; 4]$ не пересекается с $(-\infty; -5]$, но пересекается с $[1; +\infty)$. Пересечение: $[1; 4]$.

Ответ: $[1; 4]$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{5x^2 + 4x - 12} + \sqrt{36 - x^2}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} 5x^2+4x-12 \ge 0 \\ 36-x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x^2 + 4x - 12 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 + 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4-16}{10} = -2$ и $x_2 = \frac{-4+16}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$.

Парабола $y=5x^2 + 4x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 1.2$. Решение: $x \in (-\infty; -2] \cup [1.2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $36 - x^2 \ge 0$.

$36 \ge x^2 \implies x^2 \le 36 \implies |x| \le 6$.

Решение второго неравенства: $x \in [-6; 6]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -2] \cup [1.2; +\infty)) \cap [-6; 6]$.

Пересечение состоит из двух интервалов: $[-6; -2]$ и $[1.2; 6]$.

Ответ: $[-6; -2] \cup [1.2; 6]$.

35.15. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 \le 0, \\ |x| > 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ |x| < 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 + 3x - 5 > 0, \\ |x| \ge 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 \le 0, \\ |x| \le 4. \end{cases}$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Используя теорему Виета, получаем корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 5x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни: $x \in [-3, -2]$.

Второе неравенство: $|x| > 2$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3, -2]$ и $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

На числовой оси видно, что общим решением является промежуток $[-3, -2)$.

Ответ: $x \in [-3, -2)$.

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 - x - 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2, 3]$.

Второе неравенство: $|x| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < x < 3$.

Решением является интервал $x \in (-3, 3)$.

Найдем пересечение решений: $[-2, 3]$ и $(-3, 3)$.

Общим решением является промежуток $[-2, 3)$.

Ответ: $x \in [-2, 3)$.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $2x^2 + 3x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5$; $x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$.

Парабола $y = 2x^2 + 3x - 5$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется вне промежутка между корнями: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (1, \infty)$.

Второе неравенство: $|x| \ge 3$.

Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, -2.5) \cup (1, \infty)$ и $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

4) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $3x^2 + 5x - 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5 - 11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$; $x_2 = \frac{-5 + 11}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 + 5x - 8$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-\frac{8}{3}, 1]$.

Второе неравенство: $|x| \le 4$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$.

Решением является отрезок $x \in [-4, 4]$.

Найдем пересечение решений: $[-\frac{8}{3}, 1]$ и $[-4, 4]$.

Поскольку $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, отрезок $[-\frac{8}{3}, 1]$ полностью содержится в отрезке $[-4, 4]$. Следовательно, их пересечение равно $[-\frac{8}{3}, 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{8}{3}, 1]$.

1. Частное и остаток от деления многочлена $x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 22$ на многочлен $x - 2$ равны:

A) $x^3 + 2x^2 + 2x - 5$; остаток 22;

B) $x^3 + x^2 + 4x + 11$; остаток 0;

C) $x^3 - x^2 + 2x - 5$; остаток 2;

D) $x^3 - x^2 + 2x + 3$; остаток (-12).

Для нахождения частного и остатка от деления многочлена $P(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 22$ на двучлен $x-2$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два наиболее удобных способа: схему Горнера и проверку по теореме Безу.

Решение с использованием схемы Горнера

Схема Горнера — это быстрый алгоритм для деления многочлена на линейный двучлен вида $(x-a)$. В нашем случае делитель $x-2$, следовательно, $a=2$. Выпишем коэффициенты многочлена $P(x)$ в порядке убывания степеней переменной $x$: $1, -1, 2, 3, -22$.

Выполним вычисления последовательно:

1. Первый коэффициент частного равен первому коэффициенту делимого: $1$.

2. Находим второй коэффициент частного: $1 \cdot 2 + (-1) = 1$.

3. Находим третий коэффициент частного: $1 \cdot 2 + 2 = 4$.

4. Находим четвертый коэффициент частного: $4 \cdot 2 + 3 = 11$.

5. Находим остаток от деления: $11 \cdot 2 + (-22) = 22 - 22 = 0$.

Полученные числа $1, 1, 4, 11$ являются коэффициентами частного. Так как степень исходного многочлена была равна 4, то частное будет многочленом степени 3.

Частное от деления: $Q(x) = 1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 11 = x^3 + x^2 + 4x + 11$.

Остаток от деления: $R = 0$.

Проверка остатка по теореме Безу

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$. Для нашего случая $a=2$.

Вычислим значение $P(2)$:

$P(2) = (2)^4 - (2)^3 + 2(2)^2 + 3(2) - 22 = 16 - 8 + 2(4) + 6 - 22 = 16 - 8 + 8 + 6 - 22 = 22 - 22 = 0$.

Остаток равен 0. Этот результат подтверждает правильность наших вычислений и позволяет сразу исключить варианты A, C и D, так как только в варианте B остаток равен 0.

Сравнивая полученные частное и остаток с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант B.

Ответ: B) $x^3 + x^2 + 4x + 11$; остаток 0.

2. Многочлены $f(x) = (a^2 - 7)x^3 - 2x^2 + (2a + 1)x - 3$ и $g(x) = 2x^3 - 2x^2 + (a - 2)x - a - 6$ тождественно равны при:

A) $a = -3$;

B) $a = 2;

C) $a = 3;

D) $a = -2$.

Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях переменной у этих многочленов были равны.

Даны многочлены:$f(x) = (a^2 - 7)x^3 - 2x^2 + (2a + 1)x - 3$$g(x) = 2x^3 - 2x^2 + (a - 2)x - a - 6$

Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ у многочленов $f(x)$ и $g(x)$.

Коэффициенты при $x^3$:$a^2 - 7 = 2$

Коэффициенты при $x^2$:$-2 = -2$

Коэффициенты при $x$:$2a + 1 = a - 2$

Свободные члены:$-3 = -a - 6$

Для нахождения значения $a$ необходимо решить полученную систему уравнений. Начнем с наиболее простого, линейного уравнения для коэффициентов при $x$:$2a + 1 = a - 2$$2a - a = -2 - 1$$a = -3$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $a = -3$ остальным уравнениям системы.

Проверим уравнение для коэффициентов при $x^3$:$a^2 - 7 = 2$Подставим $a = -3$:$(-3)^2 - 7 = 9 - 7 = 2$.Равенство $2 = 2$ является верным.

Проверим уравнение для свободных членов:$-3 = -a - 6$Подставим $a = -3$:$-3 = -(-3) - 6$$-3 = 3 - 6$$-3 = -3$.Равенство является верным.

Равенство для коэффициентов при $x^2$ ($-2 = -2$) является тождеством и выполняется при любом значении $a$.

Таким образом, значение $a = -3$ удовлетворяет всем условиям, и при этом значении многочлены $f(x)$ и $g(x)$ тождественно равны.

Ответ: A) $a = -3$