Номер 1, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Частное и остаток от деления многочлена $x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 22$ на многочлен $x - 2$ равны:

A) $x^3 + 2x^2 + 2x - 5$; остаток 22;

B) $x^3 + x^2 + 4x + 11$; остаток 0;

C) $x^3 - x^2 + 2x - 5$; остаток 2;

D) $x^3 - x^2 + 2x + 3$; остаток (-12).

Для нахождения частного и остатка от деления многочлена $P(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 22$ на двучлен $x-2$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два наиболее удобных способа: схему Горнера и проверку по теореме Безу.

Решение с использованием схемы Горнера

Схема Горнера — это быстрый алгоритм для деления многочлена на линейный двучлен вида $(x-a)$. В нашем случае делитель $x-2$, следовательно, $a=2$. Выпишем коэффициенты многочлена $P(x)$ в порядке убывания степеней переменной $x$: $1, -1, 2, 3, -22$.

Выполним вычисления последовательно:

1. Первый коэффициент частного равен первому коэффициенту делимого: $1$.

2. Находим второй коэффициент частного: $1 \cdot 2 + (-1) = 1$.

3. Находим третий коэффициент частного: $1 \cdot 2 + 2 = 4$.

4. Находим четвертый коэффициент частного: $4 \cdot 2 + 3 = 11$.

5. Находим остаток от деления: $11 \cdot 2 + (-22) = 22 - 22 = 0$.

Полученные числа $1, 1, 4, 11$ являются коэффициентами частного. Так как степень исходного многочлена была равна 4, то частное будет многочленом степени 3.

Частное от деления: $Q(x) = 1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 11 = x^3 + x^2 + 4x + 11$.

Остаток от деления: $R = 0$.

Проверка остатка по теореме Безу

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$. Для нашего случая $a=2$.

Вычислим значение $P(2)$:

$P(2) = (2)^4 - (2)^3 + 2(2)^2 + 3(2) - 22 = 16 - 8 + 2(4) + 6 - 22 = 16 - 8 + 8 + 6 - 22 = 22 - 22 = 0$.

Остаток равен 0. Этот результат подтверждает правильность наших вычислений и позволяет сразу исключить варианты A, C и D, так как только в варианте B остаток равен 0.

Сравнивая полученные частное и остаток с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант B.

Ответ: B) $x^3 + x^2 + 4x + 11$; остаток 0.