Номер 35.10, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.10. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых найдутся два различных корня уравнения $x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$, которые будут также корнями уравнения $x^3 - 8x + b = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных корня уравнения $x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$, которые также являются корнями уравнения $x^3 - 8x + b = 0$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ являются корнями обоих уравнений, они удовлетворяют следующей системе:

$x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$

$x^3 - 8x + b = 0$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x^3$. Любой общий корень должен удовлетворять и полученному разностному уравнению:

$(x^3 - 5x^2 + 7x - a) - (x^3 - 8x + b) = 0$

$-5x^2 + 15x - (a + b) = 0$

Умножим на $-1$:

$5x^2 - 15x + a + b = 0$

По условию, это квадратное уравнение должно иметь два различных корня, а именно $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета для этого квадратного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-15)/5 = 3$

Произведение корней: $x_1 x_2 = (a + b)/5$

Теперь рассмотрим исходные кубические уравнения. Пусть $x_3$ — третий корень первого уравнения, а $x_4$ — третий корень второго уравнения.

Для уравнения $x^3 - 5x^2 + 7x - a = 0$ по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -(-5)/1 = 5$

2. Сумма попарных произведений корней: $x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 7/1 = 7$

3. Произведение корней: $x_1 x_2 x_3 = -(-a)/1 = a$

Для уравнения $x^3 + 0x^2 - 8x + b = 0$ по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_4 = -0/1 = 0$

2. Сумма попарных произведений корней: $x_1 x_2 + x_1 x_4 + x_2 x_4 = -8/1 = -8$

3. Произведение корней: $x_1 x_2 x_4 = -b/1 = -b$

Используем известные нам соотношения. Из суммы корней первого кубического уравнения:

$(x_1 + x_2) + x_3 = 5$

Подставляем $x_1 + x_2 = 3$:

$3 + x_3 = 5 \Rightarrow x_3 = 2$

Из суммы корней второго кубического уравнения:

$(x_1 + x_2) + x_4 = 0$

Подставляем $x_1 + x_2 = 3$:

$3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_4 = -3$

Теперь используем формулы для попарных произведений корней, чтобы найти $x_1 x_2$.

Для первого уравнения:

$x_1 x_2 + x_3(x_1 + x_2) = 7$

Подставляем $x_3 = 2$ и $x_1 + x_2 = 3$:

$x_1 x_2 + 2(3) = 7 \Rightarrow x_1 x_2 + 6 = 7 \Rightarrow x_1 x_2 = 1$

Проверим согласованность со вторым уравнением:

$x_1 x_2 + x_4(x_1 + x_2) = -8$

Подставляем $x_1 x_2 = 1$, $x_4 = -3$ и $x_1 + x_2 = 3$:

$1 + (-3)(3) = 1 - 9 = -8$. Равенство $-8 = -8$ верно, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Теперь, зная произведение $x_1 x_2 = 1$, мы можем найти параметры $a$ и $b$.

Из формулы для произведения корней первого уравнения:

$a = x_1 x_2 x_3 = (1)(2) = 2$

Из формулы для произведения корней второго уравнения:

$-b = x_1 x_2 x_4 = (1)(-3) = -3 \Rightarrow b = 3$

Мы нашли единственную пару значений $(a, b) = (2, 3)$. Проверим, действительно ли при этих значениях существуют два различных общих корня. Уравнение для общих корней $5x^2 - 15x + a + b = 0$ примет вид:

$5x^2 - 15x + 2 + 3 = 0 \Rightarrow 5x^2 - 15x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a=2, b=3$.