Номер 35.5, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.5. Запишите многочлен, корни которого обратны корням многочлена $x^3 - 6x^2 + 12x - 18$, а коэффициент при $x^3$ равен 2.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 18$. Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3$.

Мы ищем новый многочлен $Q(y)$, корни которого $y_1, y_2, y_3$ являются обратными к корням многочлена $P(x)$, то есть $y_i = 1/x_i$.

Из этого соотношения следует, что $x_i = 1/y_i$. Поскольку $x_i$ является корнем многочлена $P(x)$, для него выполняется равенство $P(x_i) = 0$. Подставим выражение $x_i = 1/y_i$ в уравнение многочлена:

$P(1/y_i) = (1/y_i)^3 - 6(1/y_i)^2 + 12(1/y_i) - 18 = 0$.

Это уравнение, которому удовлетворяют все корни искомого многочлена. Упростим его. Сначала раскроем степени:

$1/y_i^3 - 6/y_i^2 + 12/y_i - 18 = 0$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем исходного многочлена, так как $P(0) = -18 \neq 0$. Следовательно, все его корни $x_i$ отличны от нуля, а значит и искомые корни $y_i = 1/x_i$ также не равны нулю. Это позволяет нам умножить обе части уравнения на $y_i^3$, чтобы избавиться от знаменателей:

$y_i^3 \cdot (1/y_i^3 - 6/y_i^2 + 12/y_i - 18) = y_i^3 \cdot 0$

$1 - 6y_i + 12y_i^2 - 18y_i^3 = 0$

Запишем полученное уравнение в стандартном виде для многочлена, расположив члены по убыванию степеней переменной $y_i$:

$-18y_i^3 + 12y_i^2 - 6y_i + 1 = 0$.

Таким образом, многочлен $R(y) = -18y^3 + 12y^2 - 6y + 1$ имеет корни, обратные корням исходного многочлена. Для удобства заменим переменную $y$ на $x$:

$R(x) = -18x^3 + 12x^2 - 6x + 1$.

Согласно условию задачи, коэффициент при старшем члене $x^3$ в искомом многочлене должен быть равен 2. В нашем многочлене $R(x)$ этот коэффициент равен -18. Умножение многочлена на константу не меняет его корней. Найдем такую константу $k$, чтобы при умножении на нее коэффициент при $x^3$ стал равен 2:

$-18 \cdot k = 2$

$k = \frac{2}{-18} = -\frac{1}{9}$.

Теперь умножим многочлен $R(x)$ на найденный коэффициент $k = -1/9$, чтобы получить искомый многочлен $Q(x)$:

$Q(x) = k \cdot R(x) = -\frac{1}{9} (-18x^3 + 12x^2 - 6x + 1)$

$Q(x) = (-\frac{1}{9})(-18)x^3 + (-\frac{1}{9})(12)x^2 + (-\frac{1}{9})(-6)x + (-\frac{1}{9})(1)$

$Q(x) = 2x^3 - \frac{12}{9}x^2 + \frac{6}{9}x - \frac{1}{9}$

Сократив дроби в коэффициентах, получаем окончательный вид многочлена:

$Q(x) = 2x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}$.

Ответ: $2x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}$.