Номер 34.15, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.15. Решите однородное уравнение:

1) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3$;

2) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$;

3) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3$;

4) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4$.

1) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Для его решения представим правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение: $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

1. $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 3 + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - 14 \sin x \cos x - (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) = 0$

$3 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение: $3 \cdot 1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$3\tan^2 x - 14 \tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$t = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$

$t_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$t_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к замене:

1. $\tan x = 5 \implies x = \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 5 + \pi n, x = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - \sin x \cos x + (2 \cos^2 x - 3 \cos^2 x) = 0$

$2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение: $2 \cdot 1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

$t = \frac{1 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в одну часть:

$(2 \sin^2 x - 4 \sin^2 x) - 3 \sin x \cos x + (4 \cos^2 x - 4 \cos^2 x) = 0$

$-2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $2 \sin x + 3 \cos x = 0$.

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x = 0$, то $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим на $\cos x$:

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3 = 0$

$2\tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{2} \implies x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{3}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, x = -\arctan\frac{3}{2} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.