Страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.15. Постройте график функции:

1) $y = [x + 5];$

2) $y = [x - 7];$

3) $y = 2 + [x + 4];$

4) $y = \{x\} + 1;$

5) $y = 4 - \{x\};$

6) $y = 6 + \{-x\};$

7) $y = [2x] + 1;$

8) $y = \{2x\};$

9) $y = \{0,5x\} + 1.$

1) $y = [x + 5]$

Здесь $[a]$ — функция «целая часть числа» (антье), которая возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $a$. График функции $y = [x + 5]$ получается из графика стандартной функции $y = [x]$ путем сдвига на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). Функция является кусочно-постоянной. Чтобы найти, на каких интервалах функция принимает постоянные значения, положим $y=k$, где $k$ — целое число. По определению целой части, $k = [x+5]$ эквивалентно двойному неравенству $k \le x + 5 < k + 1$. Вычитая 5 из всех частей неравенства, получаем $k - 5 \le x < k - 4$. Это означает, что для любого целого $k$, когда $x$ находится в полуинтервале $[k - 5, k - 4)$, значение функции $y$ постоянно и равно $k$. Например:

при $x \in [-5, -4)$, $y = 0$;

при $x \in [-4, -3)$, $y = 1$;

при $x \in [-6, -5)$, $y = -1$.

График представляет собой «лесенку» из горизонтальных отрезков единичной длины.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k-5, k-4)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k$. Левая точка каждого отрезка, например $(k-5, k)$, включается в график (сплошная точка), а правая, $(k-4, k)$, — исключается (выколотая точка).

2) $y = [x - 7]$

График функции $y = [x - 7]$ получается из графика функции $y = [x]$ путем сдвига на 7 единиц вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). Аналогично предыдущему пункту, положим $y=k$, где $k$ — целое число. Из $k = [x-7]$ следует $k \le x - 7 < k + 1$. Прибавляя 7 ко всем частям неравенства, получаем $k + 7 \le x < k + 8$. Таким образом, для любого целого $k$, когда $x$ находится в полуинтервале $[k + 7, k + 8)$, значение функции $y$ постоянно и равно $k$. Например:

при $x \in [7, 8)$, $y = 0$;

при $x \in [8, 9)$, $y = 1$;

при $x \in [6, 7)$, $y = -1$.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k+7, k+8)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k$. Левая точка отрезка $(k+7, k)$ включается, правая точка $(k+8, k)$ — исключается.

3) $y = 2 + [x + 4]$

График этой функции можно получить из графика $y = [x]$ двумя последовательными преобразованиями: сдвигом на 4 единицы влево вдоль оси $Ox$ и сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Пусть $[x+4] = k$, где $k$ — целое число. Тогда $y = 2+k$. Условие $[x+4] = k$ эквивалентно неравенству $k \le x + 4 < k + 1$, откуда $k - 4 \le x < k - 3$. Значит, на полуинтервале $[k - 4, k - 3)$ функция принимает постоянное значение $y = k+2$. Например:

при $x \in [-4, -3)$, $k=0$, и $y = 2+0=2$;

при $x \in [-3, -2)$, $k=1$, и $y = 2+1=3$;

при $x \in [-5, -4)$, $k=-1$, и $y = 2-1=1$.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k-4, k-3)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k+2$. Левая точка отрезка $(k-4, k+2)$ включается, правая точка $(k-3, k+2)$ — исключается.

4) $y = \{x\} + 1$

Здесь $\{a\}$ — функция «дробная часть числа», определяемая как $\{a\} = a - [a]$. Область значений функции $\{x\}$ — полуинтервал $[0, 1)$. График функции $y = \{x\} + 1$ получается из графика стандартной функции $y = \{x\}$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции $y = \{x\} + 1$ — полуинтервал $[1, 2)$. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ имеем $[x]=n$, поэтому $\{x\} = x-n$. Следовательно, на этом интервале $y = (x-n) + 1$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1. Например:

при $x \in [0, 1)$, $y = x+1$;

при $x \in [1, 2)$, $y = (x-1)+1 = x$;

при $x \in [-1, 0)$, $y = (x-(-1))+1 = x+2$.

Ответ: График функции — «пила», состоящая из параллельных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 1)$ (включается) и точку $(n+1, 2)$ (исключается).

5) $y = 4 - \{x\}$

График этой функции можно получить из графика $y=\{x\}$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ (получая $y = -\{x\}$) и последующего сдвига на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Поскольку $0 \le \{x\} < 1$, то $-1 < -\{x\} \le 0$, и, следовательно, $3 < 4 - \{x\} \le 4$. Область значений функции — полуинтервал $(3, 4]$. Для любого целого $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ имеем $\{x\} = x-n$. Тогда на этом интервале $y = 4 - (x-n) = -x + n + 4$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом -1. Например:

при $x \in [0, 1)$, $y = 4-x$;

при $x \in [1, 2)$, $y = 4-(x-1) = 5-x$.

Ответ: График функции — «пила», состоящая из параллельных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 4)$ (включается) и точку $(n+1, 3)$ (исключается).

6) $y = 6 + \{-x\}$

График функции $y = \{-x\}$ получается из графика $y = \{x\}$ отражением относительно оси $Oy$. Затем он сдвигается на 6 единиц вверх. Рассмотрим поведение функции. Если $x$ — целое число, $x=n$, то $-x$ также целое, и $\{-n\}=0$, поэтому $y = 6$. Таким образом, все точки вида $(n, 6)$, где $n$ — целое, принадлежат графику. Если $x$ не является целым, то используется свойство $\{-x\} = 1 - \{x\}$. Тогда $y = 6 + 1 - \{x\} = 7 - \{x\}$. Рассмотрим полуинтервал $(n, n+1)$, где $n$ — целое. На нем $y = 7 - (x-n) = -x+n+7$. Проверим граничные значения для интервала $(n, n+1]$: В точке $x = n+1$ (которая является целым числом), $y=6$. При $x \to n$ справа, $y \to -n+n+7 = 7$. Таким образом, график состоит из отрезков, "смотрящих" в противоположную сторону по сравнению с предыдущим пунктом.

Ответ: График функции — «пила», состоящая из параллельных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $(n, n+1]$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 7)$ (исключается) и точку $(n+1, 6)$ (включается).

7) $y = [2x] + 1$

График этой функции получается из графика $y = [x]$ сжатием в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$ (преобразование $x \to 2x$) и сдвигом на 1 единицу вверх. Сжатие по горизонтали приводит к тому, что «ступеньки» становятся вдвое короче. Их длина теперь $1/2$. Пусть $[2x]=k$, где $k$ — целое число. Тогда $y=k+1$. Условие $[2x]=k$ эквивалентно $k \le 2x < k+1$, или $k/2 \le x < (k+1)/2$. На полуинтервале $[k/2, (k+1)/2)$ функция постоянна и равна $k+1$. Например:

при $x \in [0, 1/2)$, $k=0$, и $y=0+1=1$;

при $x \in [1/2, 1)$, $k=1$, и $y=1+1=2$;

при $x \in [-1/2, 0)$, $k=-1$, и $y=-1+1=0$.

Ответ: График функции — ступенчатая функция. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k/2, (k+1)/2)$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=k+1$. Длина каждой ступеньки равна $1/2$.

8) $y = \{2x\}$

График функции $y = \{2x\}$ получается из графика $y=\{x\}$ путем сжатия в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$. Период функции $y=\{x\}$ равен 1. Период функции $y=\{2x\}$ равен $1/2$. Область значений остается прежней: $[0, 1)$. На полуинтервале $[n/2, (n+1)/2)$ для любого целого $n$, имеем $[2x]=n$. Тогда $y = \{2x\} = 2x - [2x] = 2x - n$. Например:

при $x \in [0, 1/2)$, $n=0$, и $y=2x$;

при $x \in [1/2, 1)$, $n=1$, и $y=2x-1$.

Ответ: График функции — «пила» с периодом $1/2$. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[n/2, (n+1)/2)$ график представляет собой отрезок прямой с угловым коэффициентом 2, соединяющий точку $(n/2, 0)$ (включается) и точку $((n+1)/2, 1)$ (исключается).

9) $y = \{0.5x\} + 1$

График этой функции получается из графика $y=\{x\}$ растяжением в 2 раза по горизонтали от оси $Oy$ (преобразование $x \to 0.5x$) и сдвигом на 1 единицу вверх. Период функции $y=\{0.5x\}$ равен $1/0.5 = 2$. Область значений функции $y=\{0.5x\}+1$ — это $[1, 2)$. На полуинтервале $[2n, 2(n+1))$ для любого целого $n$, имеем $[0.5x]=n$. Тогда $y = \{0.5x\} + 1 = (0.5x - [0.5x]) + 1 = 0.5x - n + 1$. Например:

при $x \in [0, 2)$, $n=0$, и $y=0.5x+1$;

при $x \in [2, 4)$, $n=1$, и $y=0.5x-1+1 = 0.5x$.

Ответ: График функции — «пила» с периодом 2, сдвинутая на 1 вверх. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $[2n, 2(n+1))$ график представляет собой отрезок прямой с угловым коэффициентом $0.5$, соединяющий точку $(2n, 1)$ (включается) и точку $(2(n+1), 2)$ (исключается).

2.16. Найдите значения функции Дирихле

$d(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \text{ --- иррациональное число,} \\ 1, & \text{если } x \text{ --- рациональное число} \end{cases}$

при следующих значениях переменной $x$, если $x$ равно 5; 7,5; -44; 1,9(3); $\sqrt{10}$; $5\sqrt{5} - \sqrt{3}$; $\frac{\sqrt{180} - \sqrt{20}}{\sqrt{125}}$.

Функция Дирихле $d(x)$ определена следующим образом:

$d(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \\ 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \end{cases}$

Рациональными называются числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Иррациональные числа — это все остальные действительные числа.

Найдем значения функции для каждого заданного $x$.

При $x = 5$: Число 5 является целым, а значит, и рациональным, так как его можно представить в виде дроби $5/1$. Следовательно, $d(5) = 1$. Ответ: 1.

При $x = 7,5$: Число 7,5 является конечной десятичной дробью, которую можно представить в виде обыкновенной дроби: $7,5 = 75/10 = 15/2$. Это рациональное число, поэтому $d(7,5) = 1$. Ответ: 1.

При $x = -44$: Число -44 является целым, следовательно, рациональным ($-44 = -44/1$). Значит, $d(-44) = 1$. Ответ: 1.

При $x = 1,9(3)$: Число 1,9(3) является бесконечной периодической десятичной дробью. Любая такая дробь является рациональным числом. Переведем ее в обыкновенную дробь: $1,9(3) = 1 + 0,9(3) = 1 + \frac{93-9}{90} = 1 + \frac{84}{90} = 1 + \frac{14}{15} = \frac{29}{15}$. Так как число рациональное, $d(1,9(3)) = 1$. Ответ: 1.

При $x = \sqrt{10}$: Число 10 не является полным квадратом целого числа ($3^2=9, 4^2=16$). Корень из натурального числа, не являющегося полным квадратом, есть число иррациональное. Следовательно, $\sqrt{10}$ — иррациональное число, и $d(\sqrt{10}) = 0$. Ответ: 0.

При $x = 5\sqrt{5} - \sqrt{3}$: Числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$ являются иррациональными. Предположим, что их разность $5\sqrt{5} - \sqrt{3}$ является рациональным числом $r$. Тогда $5\sqrt{5} = r + \sqrt{3}$. Возведем обе части в квадрат: $(5\sqrt{5})^2 = (r + \sqrt{3})^2$, что дает $125 = r^2 + 2r\sqrt{3} + 3$. Выразим $\sqrt{3}$: $2r\sqrt{3} = 122 - r^2$, откуда $\sqrt{3} = \frac{122 - r^2}{2r}$. В левой части стоит иррациональное число $\sqrt{3}$, а в правой — рациональное (так как $r$ — рациональное). Это противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и число $5\sqrt{5} - \sqrt{3}$ является иррациональным. Поэтому $d(5\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 0$. Ответ: 0.

При $x = \frac{\sqrt{180} - \sqrt{20}}{\sqrt{125}}$: Упростим выражение. Для этого разложим подкоренные выражения на множители: $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $x = \frac{6\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$. Число $4/5$ является рациональным. Следовательно, $d\left(\frac{\sqrt{180} - \sqrt{20}}{\sqrt{125}}\right) = 1$. Ответ: 1.

2.17. Найдите значения функции

$R(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{если } x \text{ --- рациональное число и выражается} \\ & \text{несократимой дробью } \frac{m}{n}; \\ 0, & \text{если } x \text{ --- иррациональное число} \end{cases}$

при следующих значениях $x$: 0,7; 0,(5); 0,(63); 0,2(3); $\frac{1}{\pi}$; $\frac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{200}}$.

Для нахождения значений функции $R(x)$ необходимо для каждого значения аргумента $x$ определить, является ли оно рациональным или иррациональным. Если число рациональное, его нужно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ и тогда значение функции будет равно $\frac{1}{n}$. Если число иррациональное, значение функции равно 0.

0,7

Число 0,7 является конечной десятичной дробью, а значит, рациональным. Представим его в виде несократимой дроби:

$x = 0,7 = \frac{7}{10}$

Данная дробь является несократимой, так как наибольший общий делитель числителя 7 и знаменателя 10 равен 1. В этом случае $m=7$ и $n=10$.

По определению функции $R(x) = \frac{1}{n}$, находим:

$R(0,7) = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

0 Число 0 является рациональным. Его можно представить в виде несократимой дроби, например, $\frac{0}{1}$.

Для этой дроби $m=0$ и $n=1$. Дробь является несократимой, так как НОД(0, 1) = 1.

По определению функции $R(x) = \frac{1}{n}$:

$R(0) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1.

0,(5)

Число 0,(5) — это чистая периодическая десятичная дробь, следовательно, оно рациональное. Преобразуем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,(5) = 0,555...$

$10x = 5,555...$

$10x - x = 5,555... - 0,555...$

$9x = 5 \implies x = \frac{5}{9}$

Дробь $\frac{5}{9}$ является несократимой. Здесь $m=5$ и $n=9$.

Следовательно, $R(0,(5)) = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

0,(63)

Число 0,(63) является рациональным. Переведем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,(63) = 0,6363...$

$100x = 63,6363...$

$100x - x = 63$

$99x = 63 \implies x = \frac{63}{99}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 9:

$x = \frac{63 \div 9}{99 \div 9} = \frac{7}{11}$

Это несократимая дробь, где $m=7$ и $n=11$.

Следовательно, $R(0,(63)) = \frac{1}{11}$.

Ответ: $\frac{1}{11}$.

0,2(3)

Число 0,2(3) является смешанной периодической дробью, следовательно, оно рациональное. Переведем его в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,2(3) = 0,2333...$

$10x = 2,333...$

$100x = 23,333...$

$100x - 10x = 23,333... - 2,333... = 21$

$90x = 21 \implies x = \frac{21}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$x = \frac{21 \div 3}{90 \div 3} = \frac{7}{30}$

Дробь $\frac{7}{30}$ является несократимой ($m=7$, $n=30$).

Следовательно, $R(0,2(3)) = \frac{1}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{30}$.

$\frac{1}{\pi}$

Число $\pi$ (пи) является иррациональным. Число, обратное ненулевому иррациональному числу, также является иррациональным.

Следовательно, $x = \frac{1}{\pi}$ — иррациональное число.

По определению функции для иррациональных чисел $R(x) = 0$.

$R(\frac{1}{\pi}) = 0$

Ответ: 0.

$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{200}}$

Для начала упростим выражение для $x$:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$x = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{(5+1)\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}$

Так как $\sqrt{2} \neq 0$, мы можем сократить на $\sqrt{2}$:

$x = \frac{6}{10}$

Полученное число является рациональным. Приведем дробь к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$

Это несократимая дробь, где $m=3$ и $n=5$.

Следовательно, $R\left(\frac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{200}}\right) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2.18. Упростите выражение

$\left( \frac{x-3}{x^2-2x-8} - \frac{x-4}{x^2-x-6} \right) \cdot \left( \frac{12-x^2}{2x-7} + x \right).$

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первых скобках: $ \left(\frac{x-3}{x^2-2x-8} - \frac{x-4}{x^2-x-6}\right) $

Сначала разложим на множители знаменатели дробей. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для знаменателя $ x^2-2x-8 $: решим уравнение $ x^2-2x-8=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Корни: $ x_1=4 $, $ x_2=-2 $. Следовательно, $ x^2-2x-8 = (x-4)(x+2) $.

Для знаменателя $ x^2-x-6 $: решим уравнение $ x^2-x-6=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $ x_1=3 $, $ x_2=-2 $. Следовательно, $ x^2-x-6 = (x-3)(x+2) $.

Теперь подставим разложенные знаменатели в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $ (x-4)(x+2)(x-3) $:

$ \frac{x-3}{(x-4)(x+2)} - \frac{x-4}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-4)(x+2)(x-3)} - \frac{(x-4)(x-4)}{(x-4)(x+2)(x-3)} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{(x-3)^2 - (x-4)^2}{(x-4)(x+2)(x-3)} $

Применим в числителе формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ (x-3)^2 - (x-4)^2 = ((x-3) - (x-4)) \cdot ((x-3) + (x-4)) = (x-3-x+4)(x-3+x-4) = (1)(2x-7) = 2x-7 $

Результат первого действия: $ \frac{2x-7}{(x-4)(x+2)(x-3)} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках: $ \left(\frac{12-x^2}{2x-7} + x\right) $

Приведем слагаемые к общему знаменателю $ 2x-7 $:

$ \frac{12-x^2}{2x-7} + \frac{x(2x-7)}{2x-7} = \frac{12-x^2+2x^2-7x}{2x-7} = \frac{x^2-7x+12}{2x-7} $

Разложим на множители числитель $ x^2-7x+12 $. Решим уравнение $ x^2-7x+12=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение - 12. Корни: $ x_1=3 $, $ x_2=4 $. Следовательно, $ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) $.

Результат второго действия: $ \frac{(x-3)(x-4)}{2x-7} $.

3. Перемножим результаты первого и второго действий.

$ \frac{2x-7}{(x-4)(x+2)(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x-4)}{2x-7} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{2x-7}}{\cancel{(x-4)}(x+2)\cancel{(x-3)}} \cdot \frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x-4)}}{\cancel{2x-7}} = \frac{1}{x+2} $

Ответ: $ \frac{1}{x+2} $

2.19. Моторная лодка проехала по течению реки 24 км пути и против течения реки 32 км пути, затратив на весь путь 6 часов. Найдите скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, равно $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{24}{x + 2}$ часов.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{32}{x - 2}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, по условию равно 6 часам. Мы можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:$t_1 + t_2 = 6$

$\frac{24}{x + 2} + \frac{32}{x - 2} = 6$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$:

$\frac{24(x - 2) + 32(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 6$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x + 2)(x - 2)$, помня об ограничении $x \neq 2$ и $x \neq -2$:

$24(x - 2) + 32(x + 2) = 6(x^2 - 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$24x - 48 + 32x + 64 = 6x^2 - 24$

$56x + 16 = 6x^2 - 24$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 - 56x - 24 - 16 = 0$

$6x^2 - 56x - 40 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$3x^2 - 28x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 784 + 240 = 1024$

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{28 + 32}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$

$x_2 = \frac{28 - 32}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -2/3$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет физическому смыслу задачи и условию $x > 2$.Следовательно, собственная скорость моторной лодки составляет 10 км/ч.

Сделаем проверку:

Время движения по течению: $\frac{24}{10 + 2} = \frac{24}{12} = 2$ часа.

Время движения против течения: $\frac{32}{10 - 2} = \frac{32}{8} = 4$ часа.

Общее время в пути: $2 + 4 = 6$ часов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10 км/ч.

2.20. Постройте график функции: 1) $y = x^2 - x - 12$; 2) $y = -18 + 11x - x^2$. Используя построенный график, укажите: координаты вершины параболы; промежутки возрастания и убывания, нули, промежутки знакопостоянства функции.

1) Рассмотрим функцию $y = x^2 - x - 12$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$:

$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_0 = (0.5)^2 - 0.5 - 12 = 0.25 - 0.5 - 12 = -12.25$

Вершина параболы находится в точке $(0.5; -12.25)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $y=0$:

$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-3; 0)$ и $(4; 0)$.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$:

$y = 0^2 - 0 - 12 = -12$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -12)$.

Используя эти точки (вершина, нули, точка пересечения с осью $Oy$), строим график параболы.

На основе анализа графика укажем требуемые характеристики:

Координаты вершины параболы: $(0.5; -12.25)$.

Промежутки возрастания и убывания: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и возрастает на промежутке $[0.5; +\infty)$.

Нули: $x = -3$, $x = 4$.

Промежутки знакопостоянства функции: $y>0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-3; 4)$.

Ответ: Координаты вершины: $(0.5; -12.25)$; промежуток убывания: $(-\infty; 0.5]$, промежуток возрастания: $[0.5; +\infty)$; нули функции: $x = -3$, $x = 4$; промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-3; 4)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -18 + 11x - x^2$. Запишем ее в стандартном виде: $y = -x^2 + 11x - 18$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2 \cdot (-1)} = \frac{11}{2} = 5.5$

$y_0 = -(5.5)^2 + 11 \cdot 5.5 - 18 = -30.25 + 60.5 - 18 = 12.25$

Вершина параболы находится в точке $(5.5; 12.25)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $y=0$:

$-x^2 + 11x - 18 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(2; 0)$ и $(9; 0)$.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$:

$y = -0^2 + 11 \cdot 0 - 18 = -18$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -18)$.

Используя эти точки, строим график параболы.

На основе анализа графика укажем требуемые характеристики:

Координаты вершины параболы: $(5.5; 12.25)$.

Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5.5]$ и убывает на промежутке $[5.5; +\infty)$.

Нули: $x = 2$, $x = 9$.

Промежутки знакопостоянства функции: $y>0$ при $x \in (2; 9)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (9; +\infty)$.

Ответ: Координаты вершины: $(5.5; 12.25)$; промежуток возрастания: $(-\infty; 5.5]$, промежуток убывания: $[5.5; +\infty)$; нули функции: $x = 2$, $x = 9$; промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (2; 9)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (9; +\infty)$.

2.21. Перечислите целые числа, удовлетворяющие неравенству

$\frac{x^3 + x^2 - 30x}{x^3 - x^2 - 42x} \le 0.$

Для решения неравенства $\frac{x^3 + x^2 - 30x}{x^3 - x^2 - 42x} \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^3 - x^2 - 42x \neq 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - x - 42) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x^2 - x - 42 \neq 0$. Для нахождения корней квадратного уравнения $x^2 - x - 42 = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 \cdot x_2 = -42$ и $x_1 + x_2 = 1$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $-6$.

Таким образом, область допустимых значений: $x \neq -6$, $x \neq 0$, $x \neq 7$.

2. Разложим на множители числитель и знаменатель исходной дроби.

Числитель: $x^3 + x^2 - 30x = x(x^2 + x - 30)$. Корнями уравнения $x^2 + x - 30 = 0$ по теореме Виета являются числа $5$ и $-6$ (так как $5 \cdot (-6) = -30$ и $5 + (-6) = -1$). Следовательно, числитель можно записать в виде $x(x - 5)(x + 6)$.

Знаменатель: $x^3 - x^2 - 42x = x(x^2 - x - 42)$. Как мы уже выяснили, корни для $x^2 - x - 42 = 0$ это $7$ и $-6$. Следовательно, знаменатель равен $x(x - 7)(x + 6)$.

3. Перепишем неравенство в новом виде и упростим его.

$\frac{x(x - 5)(x + 6)}{x(x - 7)(x + 6)} \le 0$

На области допустимых значений ($x \neq 0$ и $x \neq -6$) мы можем сократить общие множители $x$ и $(x + 6)$. Неравенство упрощается до:

$\frac{x - 5}{x - 7} \le 0$

4. Решим полученное простое неравенство методом интервалов.

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это $x = 5$ (корень числителя) и $x = 7$ (корень знаменателя). Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=5$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=7$ будет выколотой, так как она из знаменателя.

Определим знаки выражения $\frac{x-5}{x-7}$ на полученных интервалах:

- на интервале $(7, +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=8$, $\frac{3}{1} > 0$);

- на интервале $(5, 7)$ выражение отрицательно (например, при $x=6$, $\frac{1}{-1} < 0$);

- на интервале $(-\infty, 5)$ выражение положительно (например, при $x=4$, $\frac{-1}{-3} > 0$).

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток $[5, 7)$.

5. Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $[5, 7)$ исходной области допустимых значений ($x \neq -6, x \neq 0, x \neq 7$).

Промежуток $[5, 7)$ не содержит точек $-6$ и $0$. Точка $7$ также не входит в этот промежуток. Следовательно, решение исходного неравенства $x \in [5, 7)$.

6. В соответствии с условием задачи, перечислим все целые числа, удовлетворяющие неравенству.

Целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $5 \le x < 7$, это $5$ и $6$.

Ответ: 5, 6.

34.14. Используя теорему, обратную теореме Виета, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

1) -5 и -2;

2) -7 и 2;

3) $2\frac{2}{7}$ и 3;

4) -5,4 и 8.

Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Иными словами, зная корни $x_1$ и $x_2$, можно составить квадратное уравнение по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) -5 и -2;

Пусть даны корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -5 + (-2) = -7$.

Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-2) = 10$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-7)x + 10 = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Ответ: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

2) -7 и 2;

Пусть даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.

Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-5)x + (-14) = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Ответ: $x^2 + 5x - 14 = 0$.

3) $2\frac{2}{7}$ и 3;

Пусть даны корни $x_1 = 2\frac{2}{7}$ и $x_2 = 3$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $x_1 = 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{16}{7} + 3 = \frac{16}{7} + \frac{21}{7} = \frac{37}{7}$.

Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{7} \cdot 3 = \frac{48}{7}$.

Подставим найденные значения в формулу, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \frac{37}{7}x + \frac{48}{7} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на 7:

$7 \cdot (x^2 - \frac{37}{7}x + \frac{48}{7}) = 7 \cdot 0$

$7x^2 - 37x + 48 = 0$

Ответ: $7x^2 - 37x + 48 = 0$.

4) -5,4 и 8.

Пусть даны корни $x_1 = -5,4$ и $x_2 = 8$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -5,4 + 8 = 2,6$.

Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = -5,4 \cdot 8 = -43,2$.

Подставим найденные значения в формулу, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - 2,6x - 43,2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в коэффициентах, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (x^2 - 2,6x - 43,2) = 10 \cdot 0$

$10x^2 - 26x - 432 = 0$

Все коэффициенты полученного уравнения являются четными числами, поэтому можно упростить уравнение, разделив его на 2:

$5x^2 - 13x - 216 = 0$

Ответ: $5x^2 - 13x - 216 = 0$.

34.15. Решите однородное уравнение:

1) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3$;

2) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$;

3) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3$;

4) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4$.

1) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Для его решения представим правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение: $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

1. $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 3 + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) - 14 \sin x \cos x - (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) = 0$

$3 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение: $3 \cdot 1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$3\tan^2 x - 14 \tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$t = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$

$t_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$t_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к замене:

1. $\tan x = 5 \implies x = \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 5 + \pi n, x = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - \sin x \cos x + (2 \cos^2 x - 3 \cos^2 x) = 0$

$2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение: $2 \cdot 1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

$t = \frac{1 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в одну часть:

$(2 \sin^2 x - 4 \sin^2 x) - 3 \sin x \cos x + (4 \cos^2 x - 4 \cos^2 x) = 0$

$-2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $2 \sin x + 3 \cos x = 0$.

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x = 0$, то $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим на $\cos x$:

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3 = 0$

$2\tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{2} \implies x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{3}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, x = -\arctan\frac{3}{2} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.