Страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.3. Найдите координаты точки $B_1$, если точка $B_1$ получена путем перемещения точки $B(1; -4):$

1) вверх на 3 единицы;

2) вниз на 2 единицы;

3) вниз на 3,2 единицы;

4) вверх на 5,4 единицы.

Для нахождения координат точки $B_1$, полученной путем перемещения точки $B(1; -4)$, нужно учесть, что перемещение вверх или вниз изменяет только координату $y$ (ординату), а координата $x$ (абсцисса) остается неизменной.

1) вверх на 3 единицы;

При перемещении точки $B(1; -4)$ вверх на 3 единицы, ее координата $x$ не изменится, а координата $y$ увеличится на 3.

Новая абсцисса: $x_1 = 1$.

Новая ордината: $y_1 = -4 + 3 = -1$.

Следовательно, координаты точки $B_1$ будут $(1; -1)$.

Ответ: $B_1(1; -1)$.

2) вниз на 2 единицы;

При перемещении точки $B(1; -4)$ вниз на 2 единицы, ее координата $x$ не изменится, а координата $y$ уменьшится на 2.

Новая абсцисса: $x_1 = 1$.

Новая ордината: $y_1 = -4 - 2 = -6$.

Следовательно, координаты точки $B_1$ будут $(1; -6)$.

Ответ: $B_1(1; -6)$.

3) вниз на 3,2 единицы;

При перемещении точки $B(1; -4)$ вниз на 3,2 единицы, ее координата $x$ не изменится, а координата $y$ уменьшится на 3,2.

Новая абсцисса: $x_1 = 1$.

Новая ордината: $y_1 = -4 - 3,2 = -7,2$.

Следовательно, координаты точки $B_1$ будут $(1; -7,2)$.

Ответ: $B_1(1; -7,2)$.

4) вверх на 5,4 единицы.

При перемещении точки $B(1; -4)$ вверх на 5,4 единицы, ее координата $x$ не изменится, а координата $y$ увеличится на 5,4.

Новая абсцисса: $x_1 = 1$.

Новая ордината: $y_1 = -4 + 5,4 = 1,4$.

Следовательно, координаты точки $B_1$ будут $(1; 1,4)$.

Ответ: $B_1(1; 1,4)$.

3.4. Найдите координаты точки $B_2$, если точка $B_2$ получена путем перемещения точки $B(-2; -1)$:

1) вниз на 3 единицы;

2) вверх на 3 единицы;

3) вверх на 4,3 единицы;

4) вниз на 7,5 единицы.

1) вниз на 3 единицы

Начальные координаты точки $B$ равны $(-2; -1)$. Перемещение точки по вертикали (вверх или вниз) изменяет только ее ординату (координату $y$), в то время как абсцисса (координата $x$) остается неизменной. При перемещении точки вниз на 3 единицы, необходимо вычесть 3 из ее y-координаты.

Новая координата $x_2$ для точки $B_2$ будет такой же, как у точки $B$: $x_2 = -2$.

Новая координата $y_2$ вычисляется следующим образом: $y_2 = -1 - 3 = -4$.

Следовательно, координаты точки $B_2$ равны $(-2; -4)$.

Ответ: $B_2(-2; -4)$

2) вверх на 3 единицы

Для точки $B(-2; -1)$ при перемещении вверх на 3 единицы, необходимо прибавить 3 к ее y-координате. Координата $x$ не изменяется.

Новая координата $x_2 = -2$.

Новая координата $y_2 = -1 + 3 = 2$.

Следовательно, координаты точки $B_2$ равны $(-2; 2)$.

Ответ: $B_2(-2; 2)$

3) вверх на 4,3 единицы

Для точки $B(-2; -1)$ при перемещении вверх на 4,3 единицы, необходимо прибавить 4,3 к ее y-координате. Координата $x$ не изменяется.

Новая координата $x_2 = -2$.

Новая координата $y_2 = -1 + 4,3 = 3,3$.

Следовательно, координаты точки $B_2$ равны $(-2; 3,3)$.

Ответ: $B_2(-2; 3,3)$

4) вниз на 7,5 единицы

Для точки $B(-2; -1)$ при перемещении вниз на 7,5 единицы, необходимо вычесть 7,5 из ее y-координаты. Координата $x$ не изменяется.

Новая координата $x_2 = -2$.

Новая координата $y_2 = -1 - 7,5 = -8,5$.

Следовательно, координаты точки $B_2$ равны $(-2; -8,5)$.

Ответ: $B_2(-2; -8,5)$

3.5. Постройте график функции $y = x$. Используя график функции $y = x$, постройте в одной координатной плоскости графики функций, полученные при перемещении графика $y = x$ на:

1) 2 единицы вправо;

2) 3 единицы влево;

3) 2 единицы вверх;

4) 3 единицы вниз.

Исходная функция — это $y = x$. Ее график — это прямая линия, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат (точку $(0, 0)$) и, например, через точку $(1, 1)$. Для построения графиков, полученных при перемещении, мы используем правила сдвига графика функции.

Общие правила преобразования для графика функции $y = f(x)$:

• Сдвиг вправо на $a$ единиц: $y = f(x - a)$
• Сдвиг влево на $a$ единиц: $y = f(x + a)$
• Сдвиг вверх на $b$ единиц: $y = f(x) + b$
• Сдвиг вниз на $b$ единиц: $y = f(x) - b$

1) 2 единицы вправо;

Чтобы переместить график функции $y = x$ на 2 единицы вправо, мы заменяем $x$ на $(x - 2)$. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x - a)$, где $a = 2$.

Новая функция будет $y = x - 2$. Ее график — это прямая, параллельная прямой $y = x$, но сдвинутая вправо на 2 единицы. Она пересекает ось $x$ в точке $(2, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, -2)$.

Ответ: $y = x - 2$.

2) 3 единицы влево;

Чтобы переместить график функции $y = x$ на 3 единицы влево, мы заменяем $x$ на $(x + 3)$. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x + a)$, где $a = 3$.

Новая функция будет $y = x + 3$. Ее график — это прямая, параллельная прямой $y = x$, но сдвинутая влево на 3 единицы. Она пересекает ось $x$ в точке $(-3, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, 3)$.

Ответ: $y = x + 3$.

3) 2 единицы вверх;

Чтобы переместить график функции $y = x$ на 2 единицы вверх, мы прибавляем 2 к значению функции. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x) + b$, где $b = 2$.

Новая функция будет $y = x + 2$. Ее график — это прямая, параллельная прямой $y = x$, но сдвинутая вверх на 2 единицы. Она пересекает ось $x$ в точке $(-2, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, 2)$.

Ответ: $y = x + 2$.

4) 3 единицы вниз.

Чтобы переместить график функции $y = x$ на 3 единицы вниз, мы вычитаем 3 из значения функции. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x) - b$, где $b = 3$.

Новая функция будет $y = x - 3$. Ее график — это прямая, параллельная прямой $y = x$, но сдвинутая вниз на 3 единицы. Она пересекает ось $x$ в точке $(3, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, -3)$.

Ответ: $y = x - 3$.

3.6. Используя график функции $y = x^2$, постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^2 - 2$; 2) $y = x^2 + 2$; 3) $y = (x - 3)^2$; 4) $y = (x + 3)^2$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Все заданные функции являются преобразованиями (сдвигами) этой базовой параболы.

Общие правила преобразования графиков, которые мы будем использовать:

1. Вертикальный сдвиг: график функции $y = f(x) + c$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

2. Горизонтальный сдвиг: график функции $y = f(x - c)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, если $c < 0$ — влево (что эквивалентно записи $y = f(x + |c|)$).

Теперь построим каждый из графиков.

1) $y = x^2 - 2$

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = -2$. Так как $c < 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$. Форма и направление ветвей параболы останутся неизменными.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^2 - 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

2) $y = x^2 + 2$

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = 2$. Так как $c > 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^2 + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

3) $y = (x - 3)^2$

Данная функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^2$ и $c = 3$. Так как $c > 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 3)^2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

4) $y = (x + 3)^2$

Эту функцию можно представить в виде $y = (x - (-3))^2$. Она имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^2$ и $c = -3$. Так как $c < 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x + 3)^2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Таким образом, в одной координатной плоскости будут находиться пять парабол: исходная $y = x^2$ с вершиной в $(0,0)$, и четыре параболы, полученные из нее сдвигом: две со сдвигом по вертикали (вершины в $(0, -2)$ и $(0, 2)$) и две со сдвигом по горизонтали (вершины в $(3, 0)$ и $(-3, 0)$). Все параболы будут иметь одинаковую форму и их ветви будут направлены вверх.

3.7. Используя график функции $y = x^3$, постройте в одной координатной плоскости графики функции:

1) $y = x^3 - 3$;

2) $y = x^3 + 3$;

3) $y = (x - 4)^3$;

4) $y = (x + 4)^3$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования графика базовой функции $y = x^3$. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат $(0, 0)$ и проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

Общие правила преобразования графиков, которые мы будем использовать:

1. График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ параллельным переносом на $c$ единиц вдоль оси ординат (вверх, если $c > 0$, и вниз, если $c < 0$).

2. График функции $y = f(x - c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ параллельным переносом на $c$ единиц вдоль оси абсцисс (вправо, если $c > 0$, и влево, если $c < 0$).

Данная функция имеет вид $y = f(x) - 3$, где $f(x) = x^3$. Согласно правилу преобразования, для построения графика этой функции необходимо сместить график базовой функции $y = x^3$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ функции $y = x^3$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 3)$. Например, центр симметрии из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -3)$, точка $(1, 1)$ — в точку $(1, -2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, -4)$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Данная функция имеет вид $y = f(x) + 3$, где $f(x) = x^3$. Для построения графика этой функции необходимо сместить график базовой функции $y = x^3$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ функции $y = x^3$ перейдет в точку $(x_0, y_0 + 3)$. Центр симметрии из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, 3)$, точка $(1, 1)$ — в точку $(1, 4)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Данная функция имеет вид $y = f(x - 4)$, где $f(x) = x^3$. Для построения графика этой функции необходимо сместить график базовой функции $y = x^3$ на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ функции $y = x^3$ перейдет в точку $(x_0 + 4, y_0)$. Центр симметрии из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(4, 0)$, точка $(1, 1)$ — в точку $(5, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(3, -1)$.

Ответ: График функции $y = (x - 4)^3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Данную функцию можно представить в виде $y = (x - (-4))^3$. Она имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^3$ и $c = -4$. Для построения графика этой функции необходимо сместить график базовой функции $y = x^3$ на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ функции $y = x^3$ перейдет в точку $(x_0 - 4, y_0)$. Центр симметрии из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(-4, 0)$, точка $(1, 1)$ — в точку $(-3, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-5, -1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

3.8. Используя график функции $y = \frac{1}{x}$, постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = \frac{1}{x} - 2;$

2) $y = \frac{1}{x} + 2;$

3) $y = \frac{1}{x + 2};$

4) $y = \frac{1}{x - 3}.$

Для построения графиков заданных функций необходимо выполнить преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

1) Функция $y = \frac{1}{x} - 2$ имеет вид $y = f(x) - a$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a = 2$. Чтобы построить график этой функции, нужно сдвинуть (параллельно перенести) график функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. При этом вертикальная асимптота останется прежней ($x=0$), а горизонтальная асимптота сместится на 2 единицы вниз и станет $y = -2$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вниз.

2) Функция $y = \frac{1}{x} + 2$ имеет вид $y = f(x) + a$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a = 2$. Чтобы построить график этой функции, нужно сдвинуть график функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. При этом вертикальная асимптота останется прежней ($x=0$), а горизонтальная асимптота сместится на 2 единицы вверх и станет $y = 2$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} + 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх.

3) Функция $y = \frac{1}{x+2}$ имеет вид $y = f(x+b)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $b = 2$. Чтобы построить график этой функции, нужно сдвинуть график функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. При этом горизонтальная асимптота останется прежней ($y=0$), а вертикальная асимптота сместится на 2 единицы влево и станет $x = -2$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+2}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево.

4) Функция $y = \frac{1}{x-3}$ имеет вид $y = f(x-b)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $b = 3$. Чтобы построить график этой функции, нужно сдвинуть график функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. При этом горизонтальная асимптота останется прежней ($y=0$), а вертикальная асимптота сместится на 3 единицы вправо и станет $x = 3$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо.

3.9. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = \sqrt{x+2}$;

2) $y = \sqrt{x-3}$;

3) $y = \sqrt{x}+3$;

4) $y = \sqrt{x}-3$.

Для построения графиков заданных функций необходимо применить правила геометрических преобразований к графику базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая через точки (1, 1), (4, 2) и (9, 3). Преобразование вида $y = f(x+a)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox): влево на $a$ единиц при $a>0$ и вправо на $|a|$ единиц при $a<0$. Преобразование вида $y = f(x) + b$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy): вверх на $b$ единиц при $b>0$ и вниз на $|b|$ единиц при $b<0$.

1) График функции $y = \sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы влево. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=2$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (-2, 0). Область определения функции: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (-2, 0), (-1, 1), (2, 2) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox.

2) График функции $y = \sqrt{x-3}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=-3$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (3, 0). Область определения функции: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (3, 0), (4, 1), (7, 2) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox.

3) График функции $y = \sqrt{x} + 3$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вверх. Это преобразование вида $y = f(x)+b$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $b=3$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (0, 3). Область определения функции остается $x \ge 0$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (0, 3), (1, 4), (4, 5) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вверх по оси Oy.

4) График функции $y = \sqrt{x} - 3$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз. Это преобразование вида $y = f(x)+b$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $b=-3$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (0, -3). Область определения функции остается $x \ge 0$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (0, -3), (1, -2), (4, -1) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вниз по оси Oy.

3.10. Какая линия является графиком функции:

1) $y = x^2 - 3.5x$;

2) $y = -x^2 + 5x$;

3) $y = \frac{1}{x+5}$;

4) $y = \frac{1}{4-x}$?

Постройте графики этих функций, используя перемещения (сдвиги, параллельные переносы) соответствующих графиков влево или вправо.

1) Графиком функции $y = x^2 - 3,5x$ является парабола, так как это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы построить график с помощью перемещений, преобразуем функцию, выделив полный квадрат:

$y = x^2 - 3,5x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1,75 + 1,75^2) - 1,75^2 = (x - 1,75)^2 - 3,0625$

Это уравнение показывает, что график функции $y = x^2 - 3,5x$ можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1,75 единицы вправо вдоль оси Ox и на 3,0625 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы будет находиться в точке $(1,75; -3,0625)$.

Ответ: Графиком является парабола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=x^2$ на 1,75 единицы вправо и на 3,0625 единицы вниз.

2) Графиком функции $y = -x^2 + 5x$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Выделим полный квадрат для определения сдвига:

$y = -x^2 + 5x = -(x^2 - 5x) = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2,5 + 2,5^2 - 2,5^2) = -((x - 2,5)^2 - 6,25) = -(x - 2,5)^2 + 6,25$

График этой функции можно получить из графика параболы $y = -x^2$ (которая является отражением $y=x^2$ относительно оси Ox) путем сдвига на 2,5 единицы вправо вдоль оси Ox и на 6,25 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы будет в точке $(2,5; 6,25)$.

Ответ: Графиком является парабола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=-x^2$ на 2,5 единицы вправо и на 6,25 единицы вверх.

3) Графиком функции $y = \frac{1}{x+5}$ является гипербола, так как это дробно-рациональная функция.

Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x - (-5)}$.

Это означает, что график данной функции можно получить из графика базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 5 единиц влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается в точку $x=-5$, а горизонтальная асимптота остается прежней ($y=0$).

Ответ: Графиком является гипербола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 5 единиц влево.

4) Графиком функции $y = \frac{1}{4-x}$ является гипербола.

Преобразуем выражение: $y = \frac{1}{4-x} = \frac{1}{-(x-4)} = -\frac{1}{x-4}$.

Построение графика можно выполнить в два этапа, начиная с базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = \frac{1}{x-4}$.

2. Отразить полученный график симметрично относительно оси Ox, чтобы получить итоговый график $y = -\frac{1}{x-4}$.

Вертикальная асимптота смещается в точку $x=4$, горизонтальная асимптота остается $y=0$.

Ответ: Графиком является гипербола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 4 единицы вправо с последующим симметричным отражением относительно оси Ox.

3.11. Постройте график квадратичной функции, выделив квадрат двучлена:

1) $y = x^2 - 3x + 1;$

2) $y = -x^2 + 4x + 2;$

3) $y = -2x^2 + 6x - 1;$

4) $y = 4x^2 - 8x + 1.$

1) Для функции $y = x^2 - 3x + 1$ выделим квадрат двучлена. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим $-3x$ как $-2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает $(\frac{3}{2})^2$. Добавим и вычтем это значение:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 1$

Теперь свернем скобку в квадрат и вычислим оставшуюся часть:

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x - 1.5)^2 - \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = (x - 1.5)^2 - \frac{5}{4}$

$y = (x - 1.5)^2 - 1.25$

Это парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на $1.5$ единицы вправо по оси Ox и на $1.25$ единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(1.5; -1.25)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1.5$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($1>0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox (y=0): $(x - 1.5)^2 - 1.25 = 0 \implies (x - 1.5)^2 = 1.25 \implies x - 1.5 = \pm\sqrt{1.25} \implies x = 1.5 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. Точки примерно $(0.38; 0)$ и $(2.62; 0)$.

5. Найдем еще одну точку для точности. Возьмем точку, симметричную точке $(0; 1)$ относительно оси $x = 1.5$. Ее абсцисса будет $1.5 + (1.5 - 0) = 3$. Точка $(3; 1)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = (x - 1.5)^2 - 1.25$.

2) Для функции $y = -x^2 + 4x + 2$ выделим квадрат двучлена. Сначала вынесем $-1$ за скобки для членов, содержащих $x$.

$y = -(x^2 - 4x) + 2$

Представим $-4x$ как $-2 \cdot x \cdot 2$. Для полного квадрата не хватает $2^2=4$. Добавим и вычтем это значение внутри скобок:

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2$

Вынесем $-4$ из скобок, не забывая умножить на $-1$ перед скобками:

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 2$

$y = -(x - 2)^2 + 6$

Это парабола, полученная из графика $y=-x^2$ сдвигом на $2$ единицы вправо по оси Ox и на $6$ единиц вверх по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(2; 6)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ ($-1<0$), значит, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.

- С осью Ox (y=0): $-(x - 2)^2 + 6 = 0 \implies (x - 2)^2 = 6 \implies x - 2 = \pm\sqrt{6} \implies x = 2 \pm \sqrt{6}$. Точки примерно $(-0.45; 0)$ и $(4.45; 0)$.

5. Найдем точку, симметричную точке $(0; 2)$ относительно оси $x = 2$. Ее абсцисса будет $2 + (2 - 0) = 4$. Точка $(4; 2)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 6$.

3) Для функции $y = -2x^2 + 6x - 1$ выделим квадрат двучлена. Вынесем $-2$ за скобки.

$y = -2(x^2 - 3x) - 1$

Представим $-3x$ как $-2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$. Для полного квадрата не хватает $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем это значение внутри скобок:

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 1$

Вынесем $-\frac{9}{4}$ из скобок, умножив на $-2$:

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + (-2)(-\frac{9}{4}) - 1$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 1 = -2(x - 1.5)^2 + 4.5 - 1$

$y = -2(x - 1.5)^2 + 3.5$

Это парабола, полученная из графика $y=-2x^2$ сдвигом на $1.5$ единицы вправо по оси Ox и на $3.5$ единицы вверх по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(1.5; 3.5)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1.5$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$ ($-2<0$), значит, ветви параболы направлены вниз и она "уже", чем $y=-x^2$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = -2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.

- С осью Ox (y=0): $-2(x - 1.5)^2 + 3.5 = 0 \implies 2(x - 1.5)^2 = 3.5 \implies (x - 1.5)^2 = 1.75 \implies x = 1.5 \pm \sqrt{1.75}$. Точки примерно $(0.18; 0)$ и $(2.82; 0)$.

5. Найдем точку, симметричную точке $(0; -1)$ относительно оси $x=1.5$. Ее абсцисса будет $1.5 + (1.5 - 0) = 3$. Точка $(3; -1)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = -2(x - 1.5)^2 + 3.5$.

4) Для функции $y = 4x^2 - 8x + 1$ выделим квадрат двучлена. Вынесем $4$ за скобки.

$y = 4(x^2 - 2x) + 1$

Представим $-2x$ как $-2 \cdot x \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2=1$. Добавим и вычтем это значение внутри скобок:

$y = 4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

Вынесем $-1$ из скобок, умножив на $4$:

$y = 4(x^2 - 2x + 1) + 4(-1) + 1$

$y = 4(x - 1)^2 - 4 + 1$

$y = 4(x - 1)^2 - 3$

Это парабола, полученная из графика $y=4x^2$ сдвигом на $1$ единицу вправо по оси Ox и на $3$ единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(1; -3)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $4$ ($4>0$), значит, ветви параболы направлены вверх и она "уже", чем $y=x^2$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = 4 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox (y=0): $4(x - 1)^2 - 3 = 0 \implies 4(x - 1)^2 = 3 \implies (x - 1)^2 = \frac{3}{4} \implies x - 1 = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точки примерно $(0.13; 0)$ и $(1.87; 0)$.

5. Найдем точку, симметричную точке $(0; 1)$ относительно оси $x = 1$. Ее абсцисса будет $1 + (1 - 0) = 2$. Точка $(2; 1)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = 4(x - 1)^2 - 3$.