Страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

35.4. 1) Один из корней многочлена $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + p$ равен 2.

Найдите этот многочлен и все его корни.

2) Один из корней многочлена $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + p$ равен -1.

Найдите этот многочлен и все его корни.

1) По условию, один из корней многочлена $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + p$ равен 2. Это означает, что при подстановке $x=2$ в многочлен, его значение обращается в ноль, то есть $P(2)=0$.

Найдем значение параметра $p$, подставив $x=2$ в выражение для многочлена:

$P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 2 + p = 0$

$8 - 3 \cdot 4 - 2 + p = 0$

$8 - 12 - 2 + p = 0$

$-6 + p = 0$

$p = 6$

Следовательно, искомый многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 6$.

Теперь найдем все его корни. Поскольку мы знаем, что $x_1 = 2$ является корнем, то многочлен $P(x)$ делится на $(x-2)$ без остатка. Выполним деление многочленов (например, по схеме Горнера или "в столбик"):

$(x^3 - 3x^2 - x + 6) : (x - 2) = x^2 - x - 3$

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

$P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 3) = 0$

Оставшиеся два корня найдем, решив квадратное уравнение $x^2 - x - 3 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Таким образом, остальные два корня: $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

Ответ: многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 6$; его корни: $2, \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

2) По условию, один из корней многочлена $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + p$ равен -1. Это означает, что $P(-1)=0$.

Найдем значение параметра $p$, подставив $x=-1$ в выражение для многочлена:

$P(-1) = 2(-1)^3 - 4(-1)^2 - 3(-1) + p = 0$

$2(-1) - 4(1) + 3 + p = 0$

$-2 - 4 + 3 + p = 0$

$-3 + p = 0$

$p = 3$

Следовательно, искомый многочлен имеет вид: $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + 3$.

Теперь найдем все его корни. Поскольку мы знаем, что $x_1 = -1$ является корнем, то многочлен $P(x)$ делится на $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка. Выполним деление многочленов:

$(2x^3 - 4x^2 - 3x + 3) : (x + 1) = 2x^2 - 6x + 3$

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

$P(x) = (x + 1)(2x^2 - 6x + 3) = 0$

Оставшиеся два корня найдем, решив квадратное уравнение $2x^2 - 6x + 3 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

Таким образом, остальные два корня: $x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: многочлен $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + 3$; его корни: $-1, \frac{3 + \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$.

35.5. Запишите многочлен, корни которого обратны корням многочлена $x^3 - 6x^2 + 12x - 18$, а коэффициент при $x^3$ равен 2.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 18$. Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3$.

Мы ищем новый многочлен $Q(y)$, корни которого $y_1, y_2, y_3$ являются обратными к корням многочлена $P(x)$, то есть $y_i = 1/x_i$.

Из этого соотношения следует, что $x_i = 1/y_i$. Поскольку $x_i$ является корнем многочлена $P(x)$, для него выполняется равенство $P(x_i) = 0$. Подставим выражение $x_i = 1/y_i$ в уравнение многочлена:

$P(1/y_i) = (1/y_i)^3 - 6(1/y_i)^2 + 12(1/y_i) - 18 = 0$.

Это уравнение, которому удовлетворяют все корни искомого многочлена. Упростим его. Сначала раскроем степени:

$1/y_i^3 - 6/y_i^2 + 12/y_i - 18 = 0$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем исходного многочлена, так как $P(0) = -18 \neq 0$. Следовательно, все его корни $x_i$ отличны от нуля, а значит и искомые корни $y_i = 1/x_i$ также не равны нулю. Это позволяет нам умножить обе части уравнения на $y_i^3$, чтобы избавиться от знаменателей:

$y_i^3 \cdot (1/y_i^3 - 6/y_i^2 + 12/y_i - 18) = y_i^3 \cdot 0$

$1 - 6y_i + 12y_i^2 - 18y_i^3 = 0$

Запишем полученное уравнение в стандартном виде для многочлена, расположив члены по убыванию степеней переменной $y_i$:

$-18y_i^3 + 12y_i^2 - 6y_i + 1 = 0$.

Таким образом, многочлен $R(y) = -18y^3 + 12y^2 - 6y + 1$ имеет корни, обратные корням исходного многочлена. Для удобства заменим переменную $y$ на $x$:

$R(x) = -18x^3 + 12x^2 - 6x + 1$.

Согласно условию задачи, коэффициент при старшем члене $x^3$ в искомом многочлене должен быть равен 2. В нашем многочлене $R(x)$ этот коэффициент равен -18. Умножение многочлена на константу не меняет его корней. Найдем такую константу $k$, чтобы при умножении на нее коэффициент при $x^3$ стал равен 2:

$-18 \cdot k = 2$

$k = \frac{2}{-18} = -\frac{1}{9}$.

Теперь умножим многочлен $R(x)$ на найденный коэффициент $k = -1/9$, чтобы получить искомый многочлен $Q(x)$:

$Q(x) = k \cdot R(x) = -\frac{1}{9} (-18x^3 + 12x^2 - 6x + 1)$

$Q(x) = (-\frac{1}{9})(-18)x^3 + (-\frac{1}{9})(12)x^2 + (-\frac{1}{9})(-6)x + (-\frac{1}{9})(1)$

$Q(x) = 2x^3 - \frac{12}{9}x^2 + \frac{6}{9}x - \frac{1}{9}$

Сократив дроби в коэффициентах, получаем окончательный вид многочлена:

$Q(x) = 2x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}$.

Ответ: $2x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}$.

35.6. Запишите многочлен, корни которого противоположны корням многочлена $2x^3 - 8x^2 + 3x - 4$, а коэффициент при $x^3$ равен -5.

Пусть исходный многочлен $P(x) = 2x^3 - 8x^2 + 3x - 4$. Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3$. Тогда $P(x_1) = 0$, $P(x_2) = 0$, $P(x_3) = 0$.

Требуется найти новый многочлен $Q(x)$, корни которого $y_1, y_2, y_3$ противоположны корням многочлена $P(x)$. Это означает, что $y_1 = -x_1, y_2 = -x_2, y_3 = -x_3$. Из этого следует, что если $y$ является корнем искомого многочлена, то $y = -x$, где $x$ — корень исходного многочлена. Следовательно, $x = -y$.

Чтобы составить многочлен с такими корнями, подставим $x = -y$ в выражение для $P(x)$:$P(-y) = 2(-y)^3 - 8(-y)^2 + 3(-y) - 4$

Упростим полученное выражение:$P(-y) = 2(-y^3) - 8(y^2) - 3y - 4 = -2y^3 - 8y^2 - 3y - 4$

Мы получили многочлен $R(y) = -2y^3 - 8y^2 - 3y - 4$, корни которого противоположны корням исходного многочлена. Коэффициент при старшей степени ($y^3$) в этом многочлене равен $-2$.

По условию задачи, коэффициент при $x^3$ в искомом многочлене $Q(x)$ должен быть равен $-5$. Многочлены, которые отличаются лишь постоянным множителем, имеют одинаковые корни. Следовательно, нам нужно найти такой коэффициент $k$, чтобы при умножении на него многочлена $R(y)$ старший коэффициент стал равен $-5$.

Составим уравнение для нахождения $k$:$k \cdot (-2) = -5$$k = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$

Теперь умножим все члены многочлена $R(y)$ на $k = \frac{5}{2}$ чтобы получить искомый многочлен. Обозначим его $Q(y)$:$Q(y) = \frac{5}{2} \cdot R(y) = \frac{5}{2}(-2y^3 - 8y^2 - 3y - 4)$$Q(y) = (\frac{5}{2} \cdot -2)y^3 + (\frac{5}{2} \cdot -8)y^2 + (\frac{5}{2} \cdot -3)y + (\frac{5}{2} \cdot -4)$$Q(y) = -5y^3 - 20y^2 - \frac{15}{2}y - 10$

Заменив переменную $y$ на $x$ для стандартной формы записи, получаем итоговый многочлен.

Ответ: $-5x^3 - 20x^2 - \frac{15}{2}x - 10$

35.7. Докажите, что если дано кубическое уравнение $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0$, то $a, b, c$ — корни этого уравнения.

Чтобы доказать, что числа $a$, $b$ и $c$ являются корнями данного кубического уравнения, нужно показать, что при подстановке каждого из этих чисел вместо $x$ уравнение обращается в верное тождество $0=0$. Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Прямая подстановка

Обозначим левую часть уравнения как многочлен $P(x) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

1. Проверим, является ли $a$ корнем уравнения. Для этого подставим $x=a$ в многочлен:

$P(a) = a^3 - (a+b+c)a^2 + (ab+ac+bc)a - abc$

Раскроем скобки:

$P(a) = a^3 - (a^3 + a^2b + a^2c) + (a^2b + a^2c + abc) - abc$

$P(a) = a^3 - a^3 - a^2b - a^2c + a^2b + a^2c + abc - abc$

Приведем подобные слагаемые:

$P(a) = (a^3 - a^3) + (-a^2b + a^2b) + (-a^2c + a^2c) + (abc - abc) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку $P(a) = 0$, число $a$ является корнем уравнения.

2. Проверим, является ли $b$ корнем уравнения. Подставим $x=b$ в многочлен:

$P(b) = b^3 - (a+b+c)b^2 + (ab+ac+bc)b - abc$

Раскроем скобки:

$P(b) = b^3 - (ab^2 + b^3 + b^2c) + (ab^2 + abc + b^2c) - abc$

$P(b) = b^3 - ab^2 - b^3 - b^2c + ab^2 + abc + b^2c - abc$

Приведем подобные слагаемые:

$P(b) = (b^3 - b^3) + (-ab^2 + ab^2) + (-b^2c + b^2c) + (abc - abc) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку $P(b) = 0$, число $b$ является корнем уравнения.

3. Проверим, является ли $c$ корнем уравнения. Подставим $x=c$ в многочлен:

$P(c) = c^3 - (a+b+c)c^2 + (ab+ac+bc)c - abc$

Раскроем скобки:

$P(c) = c^3 - (ac^2 + bc^2 + c^3) + (abc + ac^2 + bc^2) - abc$

$P(c) = c^3 - ac^2 - bc^2 - c^3 + abc + ac^2 + bc^2 - abc$

Приведем подобные слагаемые:

$P(c) = (c^3 - c^3) + (-ac^2 + ac^2) + (-bc^2 + bc^2) + (abc - abc) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку $P(c) = 0$, число $c$ является корнем уравнения.

Так как при подстановке каждого из чисел $a, b, c$ уравнение обращается в верное равенство, все они являются его корнями.

Способ 2: Разложение на множители (использование формул Виета)

Если $a, b, c$ являются корнями некоторого кубического уравнения со старшим коэффициентом 1, то это уравнение можно представить в виде разложения на множители:

$(x-a)(x-b)(x-c) = 0$

Раскроем скобки в левой части этого выражения. Сначала перемножим первые два множителя:

$(x-a)(x-b) = x^2 - bx - ax + ab = x^2 - (a+b)x + ab$

Теперь умножим полученный двучлен на третий множитель $(x-c)$:

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c) = x \cdot (x^2 - (a+b)x + ab) - c \cdot (x^2 - (a+b)x + ab)$

$= x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + c(a+b)x - abc$

$= x^3 - (a+b)x^2 - cx^2 + abx + (ac+bc)x - abc$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$

Таким образом, мы получили уравнение:

$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0$

Это уравнение в точности совпадает с уравнением, данным в условии. Так как оно было получено из предположения, что его корни — это $a, b$ и $c$, то это доказывает исходное утверждение. Коэффициенты при степенях $x$ представляют собой (с точностью до знака) элементарные симметрические многочлены от корней $a,b,c$, что соответствует формулам Виета для кубического уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. Прямой подстановкой чисел $a, b, c$ в уравнение $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0$ было показано, что левая часть обращается в ноль. Также было показано, что данное уравнение является разложением на множители выражения $(x-a)(x-b)(x-c) = 0$, корнями которого по определению являются $a, b$ и $c$.

35.8. Используя теорему Виета, решите уравнение:

1) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$;

2) $x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = 0$.

1) Для кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

$x_1 + x_2 + x_3 = -b/a$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c/a$

$x_1x_2x_3 = -d/a$

Рассмотрим уравнение $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$. Здесь $a=1, b=2, c=-5, d=-6$.

Применяя теорему Виета, получаем систему:

$x_1 + x_2 + x_3 = -2$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -5$

$x_1x_2x_3 = 6$

Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целый корень. Согласно теореме о рациональных корнях, он должен быть делителем свободного члена, то есть числа -6. Делители числа -6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим подстановкой, является ли $x = -1$ корнем:

$(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2(1) + 5 - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ — один из корней уравнения.

Теперь мы можем найти два других корня, используя соотношения Виета. Подставим $x_1 = -1$ в первое и третье уравнения системы:

$-1 + x_2 + x_3 = -2 \implies x_2 + x_3 = -1$

$(-1) \cdot x_2 \cdot x_3 = 6 \implies x_2x_3 = -6$

Мы получили систему для $x_2$ и $x_3$. Согласно обратной теореме Виета, $x_2$ и $x_3$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x_2+x_3)t + x_2x_3 = 0$.

Подставляем найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - (-1)t + (-6) = 0$

$t^2 + t - 6 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, разложением на множители $(t+3)(t-2)=0$), находим его корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Следовательно, два других корня исходного уравнения — это $x_2 = -3$ и $x_3 = 2$.

Ответ: -3; -1; 2.

2) Рассмотрим уравнение $x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = 0$. Здесь $a=1, b=-3, c=-13, d=15$.

По теореме Виета для этого уравнения:

$x_1 + x_2 + x_3 = -(-3)/1 = 3$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -13/1 = -13$

$x_1x_2x_3 = -15/1 = -15$

Целочисленные корни уравнения должны быть делителями свободного члена, равного 15. Делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Проверим подстановкой, является ли $x = 1$ корнем:

$1^3 - 3(1)^2 - 13(1) + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 16 - 16 = 0$.

Значит, $x_1 = 1$ — один из корней уравнения.

Теперь найдем два других корня. Подставим $x_1 = 1$ в первое и третье уравнения системы Виета:

$1 + x_2 + x_3 = 3 \implies x_2 + x_3 = 2$

$1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -15 \implies x_2x_3 = -15$

Корни $x_2$ и $x_3$ являются решениями квадратного уравнения $t^2 - (x_2+x_3)t + x_2x_3 = 0$.

Подставляем найденные значения:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решая это уравнение (например, разложением на множители $(t-5)(t+3)=0$), находим его корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Следовательно, два других корня исходного уравнения — это $x_2 = 5$ и $x_3 = -3$.

Ответ: -3; 1; 5.

35.9. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых три различных корня уравнения $x^3 + (a^2 - 9a) x^2 + 8ax - 64 = 0$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — три различных корня данного уравнения, образующие геометрическую прогрессию. Обозначим эти корни как $b/q, b, bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку корни различны, $q \neq 1$, $q \neq -1$ и $q \neq 0$.

Исходное уравнение: $x^3 + (a^2 - 9a)x^2 + 8ax - 64 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = \frac{b}{q} + b + bq = -(a^2 - 9a)$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{b}{q} \cdot b + \frac{b}{q} \cdot bq + b \cdot bq = \frac{b^2}{q} + b^2 + b^2q = 8a$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = \frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = b^3 = -(-64) = 64$

Из третьего уравнения находим значение $b$:

$b^3 = 64 \implies b = \sqrt[3]{64} = 4$.

Таким образом, один из корней уравнения всегда равен $4$, независимо от значения параметра $a$. Подставим этот корень $x=4$ в исходное уравнение, чтобы найти возможные значения $a$:

$4^3 + (a^2 - 9a) \cdot 4^2 + 8a \cdot 4 - 64 = 0$

$64 + 16(a^2 - 9a) + 32a - 64 = 0$

$16(a^2 - 9a) + 32a = 0$

Разделим обе части на 16:

$a^2 - 9a + 2a = 0$

$a^2 - 7a = 0$

$a(a - 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для параметра $a$: $a = 0$ и $a = 7$. Проверим каждое из них.

Случай 1: a = 0

Подставляем $a=0$ в исходное уравнение:

$x^3 + (0^2 - 9 \cdot 0)x^2 + 8 \cdot 0 \cdot x - 64 = 0$

$x^3 - 64 = 0$

Это уравнение можно разложить на множители: $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) = 0$.

Один корень $x=4$. Для квадратного уравнения $x^2 + 4x + 16 = 0$ дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$. Следовательно, других действительных корней нет. Это противоречит условию о трех различных корнях. Значит, $a=0$ не является решением.

Случай 2: a = 7

Подставляем $a=7$ в исходное уравнение:

$x^3 + (7^2 - 9 \cdot 7)x^2 + 8 \cdot 7 \cdot x - 64 = 0$

$x^3 + (49 - 63)x^2 + 56x - 64 = 0$

$x^3 - 14x^2 + 56x - 64 = 0$

Мы знаем, что $x=4$ является корнем этого уравнения. Разделим многочлен на $(x-4)$:

$(x^3 - 14x^2 + 56x - 64) : (x - 4) = x^2 - 10x + 16$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 4)(x^2 - 10x + 16) = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + 16 = 0$:

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x = 2$ и $x = 8$.

В этом случае уравнение имеет три различных корня: $2, 4, 8$.

Проверим, образуют ли они геометрическую прогрессию. Последовательность $2, 4, 8$ является геометрической прогрессией с первым членом $2$ и знаменателем $q = 4/2 = 8/4 = 2$.

Таким образом, значение $a=7$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Единственное значение параметра, при котором выполняются условия задачи, это $a=7$. Корни уравнения при этом значении параметра: $2, 4, 8$.