Номер 35.2, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.2. Запишите многочлен третьей степени, корни которого равны:

1) $-1, 0; 2$;

2) $-2; 2; 1$;

3) $-2; 1; 3$;

4) $-2; -1; 4$.

Чтобы записать многочлен третьей степени, имеющий заданные корни $x_1, x_2, x_3$, можно воспользоваться формулой: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, где $a$ - это любой ненулевой действительный коэффициент. Для упрощения задачи выберем старший коэффициент $a=1$.

1) Даны корни: $-1, 0, 2$.

Составим многочлен $P(x)$, подставив данные корни в формулу:

$P(x) = (x - (-1))(x - 0)(x - 2) = (x+1) \cdot x \cdot (x-2)$.

Теперь раскроем скобки, чтобы представить многочлен в стандартном виде:

$P(x) = x(x+1)(x-2) = x(x^2 - 2x + x - 2) = x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x$.

Ответ: $x^3 - x^2 - 2x$

2) Даны корни: $-2, 2, 1$.

Составим многочлен $P(x)$:

$P(x) = (x - (-2))(x - 2)(x - 1) = (x+2)(x-2)(x-1)$.

Раскроем скобки. Удобно сначала использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$P(x) = (x^2 - 2^2)(x-1) = (x^2 - 4)(x-1)$.

Далее:

$P(x) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1 - 4 \cdot x - 4 \cdot (-1) = x^3 - x^2 - 4x + 4$.

Ответ: $x^3 - x^2 - 4x + 4$

3) Даны корни: $-2, 1, 3$.

Составим многочлен $P(x)$:

$P(x) = (x - (-2))(x - 1)(x - 3) = (x+2)(x-1)(x-3)$.

Раскроем скобки последовательно:

$P(x) = (x^2 - x + 2x - 2)(x-3) = (x^2 + x - 2)(x-3)$.

Далее:

$P(x) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) + x \cdot x + x \cdot (-3) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x - 2x + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

Ответ: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$

4) Даны корни: $-2, -1, 4$.

Составим многочлен $P(x)$:

$P(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 4) = (x+2)(x+1)(x-4)$.

Раскроем скобки последовательно:

$P(x) = (x^2 + x + 2x + 2)(x-4) = (x^2 + 3x + 2)(x-4)$.

Далее:

$P(x) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-4) + 3x \cdot x + 3x \cdot (-4) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-4) = x^3 - 4x^2 + 3x^2 - 12x + 2x - 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$P(x) = x^3 - x^2 - 10x - 8$.

Ответ: $x^3 - x^2 - 10x - 8$