Номер 35.6, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 35. Обобщенная теорема Виета для многочлена третьего порядка. Глава 6. Многочлены. Часть 2 - номер 35.6, страница 32.

Условие.

35.6. Запишите многочлен, корни которого противоположны корням многочлена $2x^3 - 8x^2 + 3x - 4$, а коэффициент при $x^3$ равен -5.

Решение 2 (rus).

Пусть исходный многочлен $P(x) = 2x^3 - 8x^2 + 3x - 4$. Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3$. Тогда $P(x_1) = 0$, $P(x_2) = 0$, $P(x_3) = 0$.

Требуется найти новый многочлен $Q(x)$, корни которого $y_1, y_2, y_3$ противоположны корням многочлена $P(x)$. Это означает, что $y_1 = -x_1, y_2 = -x_2, y_3 = -x_3$. Из этого следует, что если $y$ является корнем искомого многочлена, то $y = -x$, где $x$ — корень исходного многочлена. Следовательно, $x = -y$.

Чтобы составить многочлен с такими корнями, подставим $x = -y$ в выражение для $P(x)$:$P(-y) = 2(-y)^3 - 8(-y)^2 + 3(-y) - 4$

Упростим полученное выражение:$P(-y) = 2(-y^3) - 8(y^2) - 3y - 4 = -2y^3 - 8y^2 - 3y - 4$

Мы получили многочлен $R(y) = -2y^3 - 8y^2 - 3y - 4$, корни которого противоположны корням исходного многочлена. Коэффициент при старшей степени ($y^3$) в этом многочлене равен $-2$.

По условию задачи, коэффициент при $x^3$ в искомом многочлене $Q(x)$ должен быть равен $-5$. Многочлены, которые отличаются лишь постоянным множителем, имеют одинаковые корни. Следовательно, нам нужно найти такой коэффициент $k$, чтобы при умножении на него многочлена $R(y)$ старший коэффициент стал равен $-5$.

Составим уравнение для нахождения $k$:$k \cdot (-2) = -5$$k = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$

Теперь умножим все члены многочлена $R(y)$ на $k = \frac{5}{2}$ чтобы получить искомый многочлен. Обозначим его $Q(y)$:$Q(y) = \frac{5}{2} \cdot R(y) = \frac{5}{2}(-2y^3 - 8y^2 - 3y - 4)$$Q(y) = (\frac{5}{2} \cdot -2)y^3 + (\frac{5}{2} \cdot -8)y^2 + (\frac{5}{2} \cdot -3)y + (\frac{5}{2} \cdot -4)$$Q(y) = -5y^3 - 20y^2 - \frac{15}{2}y - 10$

Заменив переменную $y$ на $x$ для стандартной формы записи, получаем итоговый многочлен.

Ответ: $-5x^3 - 20x^2 - \frac{15}{2}x - 10$