Номер 35.11, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.11. Известно, что уравнение $x^3 - 2ax^2 + (2a - 3)x + 2 = 0$ имеет три различных действительных корня. Один из корней равен значению суммы двух других. Найдите значение параметра $a$ и корни уравнения.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — три различных действительных корня уравнения $x^3 - 2ax^2 + (2a - 3)x + 2 = 0$. По условию, один из корней равен сумме двух других. Без ограничения общности, пусть $x_1 = x_2 + x_3$.

Для решения задачи воспользуемся формулами Виета для кубического уравнения. Для данного уравнения они имеют вид:

$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 2a - 3$

$x_1x_2x_3 = -2$

Используем первое соотношение Виета и условие $x_2 + x_3 = x_1$. Подставим $x_2+x_3$ в сумму всех корней:

$x_1 + (x_2 + x_3) = 2a$

$x_1 + x_1 = 2a$

$2x_1 = 2a$

$x_1 = a$

Это означает, что один из корней уравнения равен значению параметра $a$. Следовательно, значение $x=a$ должно удовлетворять исходному уравнению. Подставим его:

$a^3 - 2a(a^2) + (2a - 3)a + 2 = 0$

$a^3 - 2a^3 + 2a^2 - 3a + 2 = 0$

$-a^3 + 2a^2 - 3a + 2 = 0$

Умножим на -1, чтобы получить приведенное уравнение относительно $a$:

$a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0$

Найдем целый корень этого уравнения среди делителей свободного члена (-2), то есть среди чисел $\pm1, \pm2$. Проверка показывает, что $a=1$ является корнем:

$1^3 - 2(1^2) + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, зная, что $(a-1)$ является одним из них:

$(a-1)(a^2 - a + 2) = 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $a^2 - a + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, уравнение $a^2 - a + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Таким образом, единственное действительное значение параметра — $a=1$.

Теперь, когда мы нашли $a=1$, найдем корни уравнения. Подставим $a=1$ в исходное уравнение:

$x^3 - 2(1)x^2 + (2(1) - 3)x + 2 = 0$

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Мы уже установили, что один из корней равен $a$, то есть $x_1=1$. Чтобы найти остальные корни, разложим многочлен на множители, сгруппировав слагаемые:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x=1, x=-1, x=2$.

Проверим выполнение условий. Корни -1, 1, 2 являются тремя различными действительными числами. Один из них, 1, равен сумме двух других: $1 = 2 + (-1)$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: $a=1$; корни уравнения: $-1, 1, 2$.