Номер 35.14, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.14. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{2x^2-3x+1}+\sqrt{x^2-9};$

2) $y=\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{2x^2-8};$

3) $y=\sqrt{x^2+4x-5}+\sqrt{16-x^2};$

4) $y=\sqrt{5x^2+4x-12}+\sqrt{36-x^2}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + \sqrt{x^2 - 9}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2x^2-3x+1 \ge 0 \\ x^2-9 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3-\sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{3+\sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \le 0.5$ или $x \ge 1$. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0.5] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 9 \ge 0$.

Это неравенство равносильно $x^2 \ge 9$, что означает $|x| \ge 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty; 0.5] \cup [1; +\infty)) \cap ((-\infty; -3] \cup [3; +\infty))$.

Пересечение этих множеств дает $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \sqrt{2x^2 - 8}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2-4x+3 \ge 0 \\ 2x^2-8 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y=x^2 - 4x + 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 3$. Решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 8 \ge 0$.

$2x^2 \ge 8 \implies x^2 \ge 4 \implies |x| \ge 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; 1] \cup [3; +\infty)) \cap ((-\infty; -2] \cup [2; +\infty))$.

Пересечением является множество $x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x - 5} + \sqrt{16 - x^2}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2+4x-5 \ge 0 \\ 16-x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Парабола $y=x^2 + 4x - 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -5$ или $x \ge 1$. Решение: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $16 - x^2 \ge 0$.

$16 \ge x^2 \implies x^2 \le 16 \implies |x| \le 4$.

Решение второго неравенства: $x \in [-4; 4]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -5] \cup [1; +\infty)) \cap [-4; 4]$.

Интервал $[-4; 4]$ не пересекается с $(-\infty; -5]$, но пересекается с $[1; +\infty)$. Пересечение: $[1; 4]$.

Ответ: $[1; 4]$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{5x^2 + 4x - 12} + \sqrt{36 - x^2}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} 5x^2+4x-12 \ge 0 \\ 36-x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5x^2 + 4x - 12 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 + 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4-16}{10} = -2$ и $x_2 = \frac{-4+16}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$.

Парабола $y=5x^2 + 4x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 1.2$. Решение: $x \in (-\infty; -2] \cup [1.2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $36 - x^2 \ge 0$.

$36 \ge x^2 \implies x^2 \le 36 \implies |x| \le 6$.

Решение второго неравенства: $x \in [-6; 6]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -2] \cup [1.2; +\infty)) \cap [-6; 6]$.

Пересечение состоит из двух интервалов: $[-6; -2]$ и $[1.2; 6]$.

Ответ: $[-6; -2] \cup [1.2; 6]$.