Номер 35.9, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.9. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых три различных корня уравнения $x^3 + (a^2 - 9a) x^2 + 8ax - 64 = 0$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — три различных корня данного уравнения, образующие геометрическую прогрессию. Обозначим эти корни как $b/q, b, bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку корни различны, $q \neq 1$, $q \neq -1$ и $q \neq 0$.

Исходное уравнение: $x^3 + (a^2 - 9a)x^2 + 8ax - 64 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = \frac{b}{q} + b + bq = -(a^2 - 9a)$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{b}{q} \cdot b + \frac{b}{q} \cdot bq + b \cdot bq = \frac{b^2}{q} + b^2 + b^2q = 8a$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = \frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = b^3 = -(-64) = 64$

Из третьего уравнения находим значение $b$:

$b^3 = 64 \implies b = \sqrt[3]{64} = 4$.

Таким образом, один из корней уравнения всегда равен $4$, независимо от значения параметра $a$. Подставим этот корень $x=4$ в исходное уравнение, чтобы найти возможные значения $a$:

$4^3 + (a^2 - 9a) \cdot 4^2 + 8a \cdot 4 - 64 = 0$

$64 + 16(a^2 - 9a) + 32a - 64 = 0$

$16(a^2 - 9a) + 32a = 0$

Разделим обе части на 16:

$a^2 - 9a + 2a = 0$

$a^2 - 7a = 0$

$a(a - 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для параметра $a$: $a = 0$ и $a = 7$. Проверим каждое из них.

Случай 1: a = 0

Подставляем $a=0$ в исходное уравнение:

$x^3 + (0^2 - 9 \cdot 0)x^2 + 8 \cdot 0 \cdot x - 64 = 0$

$x^3 - 64 = 0$

Это уравнение можно разложить на множители: $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) = 0$.

Один корень $x=4$. Для квадратного уравнения $x^2 + 4x + 16 = 0$ дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$. Следовательно, других действительных корней нет. Это противоречит условию о трех различных корнях. Значит, $a=0$ не является решением.

Случай 2: a = 7

Подставляем $a=7$ в исходное уравнение:

$x^3 + (7^2 - 9 \cdot 7)x^2 + 8 \cdot 7 \cdot x - 64 = 0$

$x^3 + (49 - 63)x^2 + 56x - 64 = 0$

$x^3 - 14x^2 + 56x - 64 = 0$

Мы знаем, что $x=4$ является корнем этого уравнения. Разделим многочлен на $(x-4)$:

$(x^3 - 14x^2 + 56x - 64) : (x - 4) = x^2 - 10x + 16$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 4)(x^2 - 10x + 16) = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + 16 = 0$:

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x = 2$ и $x = 8$.

В этом случае уравнение имеет три различных корня: $2, 4, 8$.

Проверим, образуют ли они геометрическую прогрессию. Последовательность $2, 4, 8$ является геометрической прогрессией с первым членом $2$ и знаменателем $q = 4/2 = 8/4 = 2$.

Таким образом, значение $a=7$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Единственное значение параметра, при котором выполняются условия задачи, это $a=7$. Корни уравнения при этом значении параметра: $2, 4, 8$.