Номер 35.8, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.8. Используя теорему Виета, решите уравнение:

1) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$;

2) $x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = 0$.

1) Для кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

$x_1 + x_2 + x_3 = -b/a$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c/a$

$x_1x_2x_3 = -d/a$

Рассмотрим уравнение $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$. Здесь $a=1, b=2, c=-5, d=-6$.

Применяя теорему Виета, получаем систему:

$x_1 + x_2 + x_3 = -2$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -5$

$x_1x_2x_3 = 6$

Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целый корень. Согласно теореме о рациональных корнях, он должен быть делителем свободного члена, то есть числа -6. Делители числа -6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим подстановкой, является ли $x = -1$ корнем:

$(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2(1) + 5 - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ — один из корней уравнения.

Теперь мы можем найти два других корня, используя соотношения Виета. Подставим $x_1 = -1$ в первое и третье уравнения системы:

$-1 + x_2 + x_3 = -2 \implies x_2 + x_3 = -1$

$(-1) \cdot x_2 \cdot x_3 = 6 \implies x_2x_3 = -6$

Мы получили систему для $x_2$ и $x_3$. Согласно обратной теореме Виета, $x_2$ и $x_3$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x_2+x_3)t + x_2x_3 = 0$.

Подставляем найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - (-1)t + (-6) = 0$

$t^2 + t - 6 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, разложением на множители $(t+3)(t-2)=0$), находим его корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Следовательно, два других корня исходного уравнения — это $x_2 = -3$ и $x_3 = 2$.

Ответ: -3; -1; 2.

2) Рассмотрим уравнение $x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = 0$. Здесь $a=1, b=-3, c=-13, d=15$.

По теореме Виета для этого уравнения:

$x_1 + x_2 + x_3 = -(-3)/1 = 3$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -13/1 = -13$

$x_1x_2x_3 = -15/1 = -15$

Целочисленные корни уравнения должны быть делителями свободного члена, равного 15. Делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Проверим подстановкой, является ли $x = 1$ корнем:

$1^3 - 3(1)^2 - 13(1) + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 16 - 16 = 0$.

Значит, $x_1 = 1$ — один из корней уравнения.

Теперь найдем два других корня. Подставим $x_1 = 1$ в первое и третье уравнения системы Виета:

$1 + x_2 + x_3 = 3 \implies x_2 + x_3 = 2$

$1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -15 \implies x_2x_3 = -15$

Корни $x_2$ и $x_3$ являются решениями квадратного уравнения $t^2 - (x_2+x_3)t + x_2x_3 = 0$.

Подставляем найденные значения:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решая это уравнение (например, разложением на множители $(t-5)(t+3)=0$), находим его корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Следовательно, два других корня исходного уравнения — это $x_2 = 5$ и $x_3 = -3$.

Ответ: -3; 1; 5.