Номер 35.12, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.12. Постройте график функции:

1) $y=\sqrt{x+2}$;

2) $y=-\sqrt{x-3}$;

3) $y=\sqrt{x+2}-2$;

4) $y=3-\sqrt{x-2}$.

1) Построим график функции $y = \sqrt{x+2}$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс. Данная функция имеет вид $y = f(x-h)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $h = -2$. Это означает, что график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Начальная точка графика (вершина) находится при $x+2 = 0$, то есть $x = -2$. В этой точке $y = \sqrt{-2+2} = 0$. Координаты начальной точки: $(-2; 0)$.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:

При $x = -1$, $y = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-1; 1)$.

При $x = 2$, $y = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2; 2)$.

При $x = 7$, $y = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(7; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Начало графика в точке $(-2; 0)$.

2) Построим график функции $y = -\sqrt{x-3}$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ в два этапа. Сначала сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, получая график $y=\sqrt{x-3}$. Затем, так как перед корнем стоит знак минус, мы отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox.

Найдем область определения функции: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Область определения: $D(y) = [3; +\infty)$.

Начальная точка графика находится при $x-3 = 0$, то есть $x = 3$. В этой точке $y = -\sqrt{3-3} = 0$. Координаты начальной точки: $(3; 0)$.

Найдем координаты нескольких дополнительных точек:

При $x = 4$, $y = -\sqrt{4-3} = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(4; -1)$.

При $x = 7$, $y = -\sqrt{7-3} = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(7; -2)$.

При $x = 12$, $y = -\sqrt{12-3} = -\sqrt{9} = -3$. Точка $(12; -3)$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{x-3}$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и затем отраженным симметрично относительно оси Ox. Начало графика в точке $(3; 0)$.

3) Построим график функции $y = \sqrt{x+2} - 2$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью двух параллельных переносов. Сначала сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox, получая график $y=\sqrt{x+2}$. Затем сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Найдем область определения функции: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Начальная точка графика находится при $x+2 = 0$, то есть $x = -2$. В этой точке $y = \sqrt{-2+2} - 2 = 0 - 2 = -2$. Координаты начальной точки: $(-2; -2)$.

Найдем координаты нескольких дополнительных точек:

При $x = -1$, $y = \sqrt{-1+2} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-1; -1)$.

При $x = 2$, $y = \sqrt{2+2} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

При $x = 7$, $y = \sqrt{7+2} - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(7; 1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2} - 2$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Начало графика в точке $(-2; -2)$.

4) Построим график функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$.

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -\sqrt{x-2} + 3$. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ в три этапа:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить $y=\sqrt{x-2}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox, чтобы получить $y=-\sqrt{x-2}$.

3. Сдвиг последнего графика на 3 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить итоговый график $y=-\sqrt{x-2} + 3$.

Найдем область определения функции: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения: $D(y) = [2; +\infty)$.

Начальная точка графика находится при $x-2 = 0$, то есть $x = 2$. В этой точке $y = 3 - \sqrt{2-2} = 3 - 0 = 3$. Координаты начальной точки: $(2; 3)$.

Найдем координаты нескольких дополнительных точек:

При $x = 3$, $y = 3 - \sqrt{3-2} = 3 - 1 = 2$. Точка $(3; 2)$.

При $x = 6$, $y = 3 - \sqrt{6-2} = 3 - 2 = 1$. Точка $(6; 1)$.

При $x = 11$, $y = 3 - \sqrt{11-2} = 3 - 3 = 0$. Точка $(11; 0)$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{x-2}$ — это ветвь параболы, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы вправо, отраженным относительно оси Ox и затем сдвинутым на 3 единицы вверх. Начало графика в точке $(2; 3)$.