Номер 35.13, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.13. Постройте график функции $y = |\sqrt{x+2}-1|$. Используя график функции, найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки монотонности функции;

3) значения параметра $p$, при которых уравнение $p = |\sqrt{x+2}-1|$ имеет два корня.

Для построения графика функции $y = |\sqrt{x+2}-1|$ выполним последовательные преобразования. За основу возьмем график функции $y=\sqrt{x}$. Сначала сдвинем его на 2 единицы влево по оси Ox, чтобы получить график $y=\sqrt{x+2}$. Затем сдвинем полученный график на 1 единицу вниз по оси Oy, получив $y=\sqrt{x+2}-1$. Начальная точка этого графика находится в $(-2, -1)$, а ось абсцисс он пересекает в точке $x=-1$.

Финальный шаг — применение модуля. Часть графика функции $y=\sqrt{x+2}-1$, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси. Неравенство $\sqrt{x+2}-1 < 0$ выполняется при $x < -1$. Таким образом, на промежутке $[-2, -1)$ график отражается вверх. Точка $(-2, -1)$ переходит в точку $(-2, 1)$, а точка $(-1, 0)$ становится точкой минимума. При $x \ge -1$ график $y = \sqrt{x+2}-1$ остается без изменений, так как на этом промежутке $y \ge 0$.

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x=0$ в уравнение функции:$y = |\sqrt{0+2}-1| = |\sqrt{2}-1|$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; \sqrt{2}-1)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox) приравняем функцию к нулю:$y=0 \implies |\sqrt{x+2}-1| = 0$.Это уравнение равносильно $\sqrt{x+2}-1 = 0$, откуда $\sqrt{x+2} = 1$.Возведя обе части в квадрат, получаем $x+2=1$, следовательно $x=-1$.Координаты точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-1; 0)$; с осью Oy: $(0; \sqrt{2}-1)$.

2) промежутки монотонности функции;

Анализируя построенный график, можно определить промежутки монотонности.Функция состоит из двух частей, сходящихся в точке минимума $x=-1$.На промежутке $[-2, -1]$ график функции убывает от значения $y=1$ в точке $x=-2$ до значения $y=0$ в точке $x=-1$.На промежутке $[-1, +\infty)$ график функции возрастает от значения $y=0$ в точке $x=-1$.Следовательно, функция убывает на промежутке $[-2, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-2, -1]$, возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

3) значения параметра p, при которых уравнение $p = |\sqrt{x+2}-1|$ имеет два корня.

Количество корней уравнения $p = |\sqrt{x+2}-1|$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=|\sqrt{x+2}-1|$ и горизонтальной прямой $y=p$.Рассмотрим поведение графика $y=|\sqrt{x+2}-1|$:- Наименьшее значение функции равно 0 (в точке $x=-1$).- В начальной точке области определения $x=-2$, значение функции $y=1$.- При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.Теперь проанализируем количество пересечений прямой $y=p$ с графиком в зависимости от $p$:- При $p<0$: нет точек пересечения (0 корней).- При $p=0$: одна точка пересечения $(-1, 0)$ (1 корень).- При $01$: прямая пересекает только возрастающую ветвь (1 корень).Таким образом, уравнение имеет ровно два корня, когда прямая $y=p$ находится строго выше минимума ($p>0$) и не выше локального максимума в начальной точке ($p \le 1$).

Ответ: $p \in (0, 1]$.