Номер 35.7, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.7. Докажите, что если дано кубическое уравнение $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0$, то $a, b, c$ — корни этого уравнения.

Чтобы доказать, что числа $a$, $b$ и $c$ являются корнями данного кубического уравнения, нужно показать, что при подстановке каждого из этих чисел вместо $x$ уравнение обращается в верное тождество $0=0$. Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Прямая подстановка

Обозначим левую часть уравнения как многочлен $P(x) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

1. Проверим, является ли $a$ корнем уравнения. Для этого подставим $x=a$ в многочлен:

$P(a) = a^3 - (a+b+c)a^2 + (ab+ac+bc)a - abc$

Раскроем скобки:

$P(a) = a^3 - (a^3 + a^2b + a^2c) + (a^2b + a^2c + abc) - abc$

$P(a) = a^3 - a^3 - a^2b - a^2c + a^2b + a^2c + abc - abc$

Приведем подобные слагаемые:

$P(a) = (a^3 - a^3) + (-a^2b + a^2b) + (-a^2c + a^2c) + (abc - abc) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку $P(a) = 0$, число $a$ является корнем уравнения.

2. Проверим, является ли $b$ корнем уравнения. Подставим $x=b$ в многочлен:

$P(b) = b^3 - (a+b+c)b^2 + (ab+ac+bc)b - abc$

Раскроем скобки:

$P(b) = b^3 - (ab^2 + b^3 + b^2c) + (ab^2 + abc + b^2c) - abc$

$P(b) = b^3 - ab^2 - b^3 - b^2c + ab^2 + abc + b^2c - abc$

Приведем подобные слагаемые:

$P(b) = (b^3 - b^3) + (-ab^2 + ab^2) + (-b^2c + b^2c) + (abc - abc) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку $P(b) = 0$, число $b$ является корнем уравнения.

3. Проверим, является ли $c$ корнем уравнения. Подставим $x=c$ в многочлен:

$P(c) = c^3 - (a+b+c)c^2 + (ab+ac+bc)c - abc$

Раскроем скобки:

$P(c) = c^3 - (ac^2 + bc^2 + c^3) + (abc + ac^2 + bc^2) - abc$

$P(c) = c^3 - ac^2 - bc^2 - c^3 + abc + ac^2 + bc^2 - abc$

Приведем подобные слагаемые:

$P(c) = (c^3 - c^3) + (-ac^2 + ac^2) + (-bc^2 + bc^2) + (abc - abc) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку $P(c) = 0$, число $c$ является корнем уравнения.

Так как при подстановке каждого из чисел $a, b, c$ уравнение обращается в верное равенство, все они являются его корнями.

Способ 2: Разложение на множители (использование формул Виета)

Если $a, b, c$ являются корнями некоторого кубического уравнения со старшим коэффициентом 1, то это уравнение можно представить в виде разложения на множители:

$(x-a)(x-b)(x-c) = 0$

Раскроем скобки в левой части этого выражения. Сначала перемножим первые два множителя:

$(x-a)(x-b) = x^2 - bx - ax + ab = x^2 - (a+b)x + ab$

Теперь умножим полученный двучлен на третий множитель $(x-c)$:

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c) = x \cdot (x^2 - (a+b)x + ab) - c \cdot (x^2 - (a+b)x + ab)$

$= x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + c(a+b)x - abc$

$= x^3 - (a+b)x^2 - cx^2 + abx + (ac+bc)x - abc$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$

Таким образом, мы получили уравнение:

$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0$

Это уравнение в точности совпадает с уравнением, данным в условии. Так как оно было получено из предположения, что его корни — это $a, b$ и $c$, то это доказывает исходное утверждение. Коэффициенты при степенях $x$ представляют собой (с точностью до знака) элементарные симметрические многочлены от корней $a,b,c$, что соответствует формулам Виета для кубического уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. Прямой подстановкой чисел $a, b, c$ в уравнение $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0$ было показано, что левая часть обращается в ноль. Также было показано, что данное уравнение является разложением на множители выражения $(x-a)(x-b)(x-c) = 0$, корнями которого по определению являются $a, b$ и $c$.