Вопросы, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каком случае второму коэффициенту равно значение суммы:
1) корней;
2) попарных произведений корней?

2. Какому члену многочлена третьей степени равно значение произведения его корней?

Для ответа на эти вопросы воспользуемся формулами Виета, которые связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Рассмотрим общий вид многочлена степени $n$: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$.

Коэффициенты принято нумеровать по убыванию степеней переменной: $a_n$ — первый (или старший) коэффициент, $a_{n-1}$ — второй коэффициент, $a_{n-2}$ — третий коэффициент, и так далее. Корнями многочлена назовем $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Согласно формулам Виета:

Сумма корней: $\sum_{i=1}^{n} x_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$.

Сумма попарных произведений корней: $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

1. В каком случае второму коэффициенту равно значение суммы:

1) корней;

Второй коэффициент многочлена — это $a_{n-1}$. Нам нужно найти условие, при котором значение суммы корней равно этому коэффициенту. То есть, должно выполняться равенство:$a_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} x_i$Подставим в это равенство формулу Виета для суммы корней:$a_{n-1} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$Если $a_{n-1} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a_{n-1}$:$1 = -\frac{1}{a_n}$Отсюда получаем $a_n = -1$.Если же $a_{n-1} = 0$, то и сумма корней равна нулю, и равенство $0=0$ выполняется при любом значении старшего коэффициента $a_n$.Однако, общий случай, описывающий целый класс многочленов, для которых выполняется данное условие, — это когда старший коэффициент равен -1.

Ответ: В случае, когда старший коэффициент многочлена равен -1 (или когда второй коэффициент и сумма корней равны нулю).

2) попарных произведений корней?

Здесь нам нужно найти условие, при котором второму коэффициенту $a_{n-1}$ равно значение суммы попарных произведений корней.$a_{n-1} = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$Подставим в это равенство формулу Виета для суммы попарных произведений корней:$a_{n-1} = \frac{a_{n-2}}{a_n}$Это равенство можно переписать в виде $a_n \cdot a_{n-1} = a_{n-2}$.Таким образом, равенство выполняется в том случае, когда произведение старшего и второго коэффициентов равно третьему коэффициенту.

Ответ: В случае, когда произведение первого (старшего) и второго коэффициентов многочлена равно его третьему коэффициенту ($a_n \cdot a_{n-1} = a_{n-2}$).

2. Какому члену многочлена третьей степени равно значение произведения его корней?

Рассмотрим многочлен третьей степени: $P(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Его члены: $a_3 x^3$ (старший член), $a_2 x^2$, $a_1 x$ и $a_0$ (свободный член). Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни этого многочлена.

По теореме Виета, произведение корней многочлена третьей степени равно:$x_1 x_2 x_3 = (-1)^3 \frac{a_0}{a_3} = -\frac{a_0}{a_3}$

Вопрос заключается в том, какому члену многочлена это значение может быть равно. Наиболее естественным для сравнения является свободный член $a_0$. Найдем условие, при котором произведение корней равно свободному члену:$a_0 = x_1 x_2 x_3$$a_0 = -\frac{a_0}{a_3}$Если $a_0 \neq 0$, то, разделив обе части на $a_0$, получаем:$1 = -\frac{1}{a_3}$, откуда $a_3 = -1$.Если $a_0 = 0$, то и произведение корней равно нулю, и равенство $0=0$ выполняется при любом $a_3$.Таким образом, в общем случае, значение произведения корней равно свободному члену, если старший коэффициент многочлена равен -1.

Ответ: Значение произведения корней равно свободному члену ($a_0$) в том случае, когда старший коэффициент многочлена ($a_3$) равен -1.