Задания, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Убедитесь самостоятельно: $(x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3) = x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3)x - x_1 \cdot x_2 \cdot x_3$

Объясните, почему $-\frac{1}{13}$ не может быть корнем $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + r$, где $r$ целое число.
Ответ: $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$, его корни $1; -1; 3$.

Убедитесь самостоятельно: $(x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3) = x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x - x_1 x_2 x_3$

Для проверки данного тождества раскроем скобки в левой части выражения. Сначала перемножим первые два множителя:

$(x - x_1)(x - x_2) = x \cdot x - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$.

Теперь умножим полученный результат на третий множитель $(x - x_3)$:

$(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2)(x - x_3) = x(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) - x_3(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2)$

Раскроем скобки дальше и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - (x_1 + x_2)x^2 + x_1 x_2 x - x_3 x^2 + x_3(x_1 + x_2)x - x_1 x_2 x_3$

$= x^3 - (x_1 + x_2)x^2 - x_3 x^2 + x_1 x_2 x + x_1 x_3 x + x_2 x_3 x - x_1 x_2 x_3$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x - x_1 x_2 x_3$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано путем последовательного раскрытия скобок в левой части и приведения подобных слагаемых.

Объясните, почему $-\frac{1}{13}$ не может быть корнем $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + r$, где $r$ целое число.

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень вида $x_0 = \frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ должен быть делителем старшего коэффициента $a_n$.

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + r$. Его коэффициенты $1, -3, -1, r$ являются целыми числами, так как по условию $r$ — целое число. Старший коэффициент $a_3 = 1$, а свободный член $a_0 = r$.

Предположим, что число $x_0 = -\frac{1}{13}$ является корнем этого многочлена. Это рациональное число, представленное в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p = -1$ и $q = 13$.

По теореме о рациональных корнях, знаменатель $q = 13$ должен быть делителем старшего коэффициента $a_3 = 1$. Однако целыми делителями числа 1 являются только числа $1$ и $-1$. Число 13 не является делителем 1.

Поскольку условие теоремы не выполняется, мы приходим к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Согласно теореме о рациональных корнях, знаменатель любого рационального корня многочлена с целыми коэффициентами должен быть делителем старшего коэффициента. В многочлене $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + r$ старший коэффициент равен 1. У предполагаемого корня $-\frac{1}{13}$ знаменатель равен 13, а 13 не является делителем 1. Следовательно, $-\frac{1}{13}$ не может быть корнем данного многочлена.