Номер 34.9, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.9. Решите уравнение методом введения новой переменной:

1) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 7\left(x + \frac{1}{x}\right) + 9 = 0;$

2) $6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 38 = 0;$

3) $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 7\left(x - \frac{1}{x}\right) + 10 = 0;$

4) $\left(x^2 + \frac{4}{x^2}\right) - \left(x + \frac{2}{x}\right) - 8 = 0.$

1) $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 9 = 0$

Данное уравнение является возвратным. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, поэтому можно вводить замену, содержащую $\frac{1}{x}$.

Введем новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0$

$2t^2 - 7t + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$. Умножим обе части на $2x$ (т.к. $x \neq 0$):

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = 1$

$x + \frac{1}{x} = 1$. Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = x$

$x^2 - x + 1 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{1}{2}; 2$.

2) $6(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0$

Заметим, что $x \neq 0$. Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем задании, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$6(t^2 - 2) + 5t - 38 = 0$

$6t^2 - 12 + 5t - 38 = 0$

$6t^2 + 5t - 50 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$.

$t_1 = \frac{-5 + 35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - 35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$. Корни этого уравнения (из предыдущей задачи): $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = -\frac{10}{3}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3}$. Умножим обе части на $3x$:

$3x^2 + 3 = -10x$

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$x_3 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_4 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

Ответ: $-3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 2$.

3) $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x - \frac{1}{x}) + 10 = 0$

Заметим, что $x \neq 0$. В этом уравнении удобнее сделать замену $t = x - \frac{1}{x}$.

Возведем замену в квадрат:

$t^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 2) + 7t + 10 = 0$

$t^2 + 7t + 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -3$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = -3$

$x - \frac{1}{x} = -3$. Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x - 1 = 0$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Случай 2: $t = -4$

$x - \frac{1}{x} = -4$. Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -4x \Rightarrow x^2 + 4x - 1 = 0$

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. $\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$x_{3,4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; -2 - \sqrt{5}; -2 + \sqrt{5}$.

4) $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x + \frac{2}{x}) - 8 = 0$

Заметим, что $x \neq 0$. Сделаем замену $t = x + \frac{2}{x}$.

Возведем замену в квадрат:

$t^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 - 4) - t - 8 = 0$

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 4$

$x + \frac{2}{x} = 4$. Умножим на $x$:

$x^2 + 2 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$. $\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Случай 2: $t = -3$

$x + \frac{2}{x} = -3$. Умножим на $x$:

$x^2 + 2 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -1$ и $x_4 = -2$.

Ответ: $-2; -1; 2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}$.