Номер 34.2, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.2. Используя метод разложения на множители, решите уравнение:

1) $4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0;$

2) $x^3 - 2x^2 = 9x - 18;$

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0;$

4) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0.$

1) $4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0$

Для решения уравнения методом разложения на множители сгруппируем слагаемые: $(4x^3 - 8x^2) - (x - 2) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $4x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(4x^2 - 1) = 0$.

Выражение в скобках $4x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(2x - 1)(2x + 1)$.

В итоге уравнение принимает вид: $(x - 2)(2x - 1)(2x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_3 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 0.5, x_3 = -0.5$.

2) $x^3 - 2x^2 = 9x - 18$

Сначала перенесем все члены уравнения в одну сторону: $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x^2 - 9) = 0$.

Выражение $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $(x - 3)(x + 3)$.

Уравнение принимает вид: $(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; 2; 3$.

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x^3 + 1) - (3x^2 + 3x) = 0$.

К первой скобке применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, а из второй вынесем общий множитель $-3x$:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) - 3x(x + 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки: $(x + 1)((x^2 - x + 1) - 3x) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке: $(x + 1)(x^2 - 4x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2. $x^2 - 4x + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $-1; 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

4) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 1) - (2x^3 - 2x) = 0$.

Разложим первую скобку как разность квадратов, а из второй вынесем общий множитель $-2x$:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$: $(x^2 - 1)((x^2 + 1) - 2x) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке: $(x^2 - 1)(x^2 - 2x + 1) = 0$.

Первый множитель $x^2 - 1$ — это разность квадратов $(x - 1)(x + 1)$.

Второй множитель $x^2 - 2x + 1$ — это квадрат разности $(x - 1)^2$.

Уравнение принимает вид: $(x - 1)(x + 1)(x - 1)^2 = 0$, или $(x - 1)^3(x + 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$(x - 1)^3 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Ответ: $-1; 1$.