Номер 33.14, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.14. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$;

2) $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} = \frac{6}{x-4}$;

3) $\frac{4x-14}{x-3} = x-2$;

4) $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}$.

1) $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

• ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.
• Общий знаменатель: $(x-2)(x+2) = x^2-4$.
• Умножим обе части на знаменатель: $x(x+2) - 7(x-2) = 8$.
• Раскроем скобки: $x^2 + 2x - 7x + 14 = 8 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$.
• По теореме Виета корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$.
• Проверка ОДЗ: $x = 2$ не подходит.

Ответ: 3.

2) $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} = \frac{6}{x-4}$

• ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 4$.
• Заметим, что $x^2-4x = x(x-4)$. Умножим всё на $x(x-4)$.
• $2(x-4) + (x^2+8) = 6x \Rightarrow 2x - 8 + x^2 + 8 = 6x$.
• Упростим: $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0$.
• Корни: $x_1 = 0, x_2 = 4$.
• Проверка ОДЗ: оба корня не подходят.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{4x-14}{x-3} = x-2$

• ОДЗ: $x \neq 3$.
• Умножим на $(x-3)$: $4x - 14 = (x-2)(x-3)$.
• $4x - 14 = x^2 - 5x + 6 \Rightarrow x^2 - 9x + 20 = 0$.
• По теореме Виета корни: $x_1 = 4, x_2 = 5$.
• Проверка ОДЗ: оба корня подходят.

Ответ: 4; 5.

4) $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}$

• ОДЗ: $x \neq 1$.
• Приведем правую часть к знаменателю $(x-1)$, изменив знаки: $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{-(2x-1)}{x-1}$.
• Умножим на $(x-1)$: $x^2 - 2x - 2(x-1) = -2x + 1$.
• $x^2 - 2x - 2x + 2 = -2x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$.
• Это квадрат разности: $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
• Проверка ОДЗ: $x = 1$ не подходит.

Ответ: корней нет.