Номер 33.14, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.14. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$;

2) $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} = \frac{6}{x-4}$;

3) $\frac{4x-14}{x-3} = x-2$;

4) $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю. Знаменатель $x^2-4$ раскладывается на множители как $(x-2)(x+2)$. Таким образом, ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, что дает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, при условии, что $x \neq \pm 2$:

$x(x+2) - 7(x-2) = 8$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 2x - 7x + 14 = 8$

$x^2 - 5x + 14 - 8 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3

2) Исходное уравнение: $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} = \frac{6}{x-4}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю: $x \neq 0$, $x^2-4x \neq 0$, $x-4 \neq 0$.

$x^2-4x = x(x-4)$, поэтому условие $x(x-4) \neq 0$ дает $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $x(x-4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x-4) + (x^2+8) = 6x$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$2x - 8 + x^2 + 8 = 6x$

$x^2 + 2x = 6x$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$.

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).

Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$, не удовлетворяют ОДЗ, следовательно, являются посторонними.

Ответ: нет корней

3) Исходное уравнение: $\frac{4x-14}{x-3} = x-2$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на $(x-3)$:

$4x - 14 = (x-2)(x-3)$.

Раскроем скобки в правой части:

$4x - 14 = x^2 - 3x - 2x + 6$

$4x - 14 = x^2 - 5x + 6$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 4x + 6 + 14 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$).

Оба корня, $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 4; 5

4) Исходное уравнение: $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, $x-1 \neq 0$ и $1-x \neq 0$, что в обоих случаях дает $x \neq 1$.

Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Перепишем уравнение:

$\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{-(x-1)}$

$\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = -\frac{2x-1