Объясните, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему уравнения $x^6 - 6x^5 - 11x^4 + x^3 - 11x^2 - 6x + 1 = 0$; $3x^5 - 4x^4 + 7x^3 - 7x^2 - 4x + 3 = 0$ являются симметрическими?

Симметрическим (или возвратным) уравнением называется алгебраическое уравнение вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, в котором коэффициенты, равноудаленные от начала и конца, равны между собой. То есть, для любого $k$ от 0 до $n$ должно выполняться условие $a_k = a_{n-k}$.

Рассмотрим каждое из представленных уравнений на соответствие этому определению.

Уравнение $x^6 - 6x^5 - 11x^4 + x^3 - 11x^2 - 6x + 1 = 0$

Это уравнение 6-й степени ($n=6$). Проверим его коэффициенты на симметричность, сравнивая пары коэффициентов, равноудаленных от краев:

• Коэффициент при $x^6$ равен 1, и свободный член (коэффициент при $x^0$) тоже равен 1. Выполняется $a_6 = a_0 = 1$.

• Коэффициент при $x^5$ равен -6, и коэффициент при $x^1$ тоже равен -6. Выполняется $a_5 = a_1 = -6$.

• Коэффициент при $x^4$ равен -11, и коэффициент при $x^2$ тоже равен -11. Выполняется $a_4 = a_2 = -11$.

• Коэффициент при $x^3$ является центральным и симметричен сам себе.

Так как для всех коэффициентов выполняется условие $a_k = a_{6-k}$, данное уравнение является симметрическим.

Ответ: Уравнение является симметрическим, потому что его коэффициенты, стоящие на одинаковом расстоянии от начала и конца, попарно равны: $1, -6, -11, 1, -11, -6, 1$.

Уравнение $3x^5 - 4x^4 + 7x^3 - 7x^2 - 4x + 3 = 0$

Это уравнение 5-й степени ($n=5$). Проверим его коэффициенты на симметричность:

• Коэффициент при $x^5$ равен 3, и свободный член (коэффициент при $x^0$) тоже равен 3. Выполняется $a_5 = a_0 = 3$.

• Коэффициент при $x^4$ равен -4, и коэффициент при $x^1$ тоже равен -4. Выполняется $a_4 = a_1 = -4$.

• Коэффициент при $x^3$ равен 7, а коэффициент при $x^2$ равен -7. Эти коэффициенты не равны ($a_3 \neq a_2$).

Поскольку не выполняется условие $a_k = a_{n-k}$ для всех коэффициентов, данное уравнение в том виде, как оно записано, не является симметрическим. Также оно не является и кососимметрическим (где должно выполняться условие $a_k = -a_{n-k}$), так как, например, $a_5 \neq -a_0$ ($3 \neq -3$).

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если бы уравнение имело вид $3x^5 - 4x^4 + 7x^3 + 7x^2 - 4x + 3 = 0$, оно было бы симметрическим, так как тогда выполнялось бы равенство $a_3=a_2=7$.

Ответ: В приведенной записи уравнение не является симметрическим, так как его коэффициенты при $x^3$ и $x^2$ не равны ($7 \neq -7$). Вопрос сформулирован некорректно, вероятно, из-за опечатки в условии.