Номер 33.11, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.11. Докажите, что все корни многочлена $K(x) = x^2 - 7x - 1$ являются корнями многочлена $P(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$.

Для того чтобы доказать, что все корни многочлена $K(x) = x^2 - 7x - 1$ являются корнями многочлена $P(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$, достаточно показать, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $K(x)$ без остатка.

Если $P(x)$ делится на $K(x)$ нацело, то существует такой многочлен $Q(x)$, что $P(x) = K(x) \cdot Q(x)$.

Пусть $x_0$ – это любой корень многочлена $K(x)$. По определению корня, $K(x_0) = 0$.

Подставим $x_0$ в равенство $P(x) = K(x) \cdot Q(x)$:

$P(x_0) = K(x_0) \cdot Q(x_0) = 0 \cdot Q(x_0) = 0$.

Это означает, что $x_0$ также является корнем многочлена $P(x)$. Таким образом, доказав, что $K(x)$ является делителем $P(x)$, мы докажем утверждение задачи.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $K(x)$ "в столбик".

1. Делим старший член $x^5$ из $P(x)$ на старший член $x^2$ из $K(x)$, получаем $x^3$. Это первый член частного. Умножаем $K(x)$ на $x^3$:

$x^3 \cdot (x^2 - 7x - 1) = x^5 - 7x^4 - x^3$.

Вычитаем полученный результат из $P(x)$:

$(x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2) - (x^5 - 7x^4 - x^3) = x^3 - 5x^2 - 15x - 2$.

2. Делим старший член полученного остатка $x^3$ на старший член $K(x)$, то есть $x^2$. Получаем $x$. Это второй член частного. Умножаем $K(x)$ на $x$:

$x \cdot (x^2 - 7x - 1) = x^3 - 7x^2 - x$.

Вычитаем результат из остатка, полученного на первом шаге:

$(x^3 - 5x^2 - 15x - 2) - (x^3 - 7x^2 - x) = 2x^2 - 14x - 2$.

3. Делим старший член нового остатка $2x^2$ на старший член $K(x)$, то есть $x^2$. Получаем $2$. Это третий член частного. Умножаем $K(x)$ на $2$:

$2 \cdot (x^2 - 7x - 1) = 2x^2 - 14x - 2$.

Вычитаем результат из остатка, полученного на втором шаге:

$(2x^2 - 14x - 2) - (2x^2 - 14x - 2) = 0$.

Остаток от деления равен нулю. Частное от деления $Q(x) = x^3 + x + 2$.

Таким образом, мы показали, что $P(x) = (x^2 - 7x - 1) \cdot (x^3 + x + 2)$, или $P(x) = K(x) \cdot Q(x)$.

Это доказывает, что многочлен $K(x)$ является дели