Номер 33.6, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.6. При каких значениях a многочлены P(x) и K(x) равны:

1)

$P(x) = (2 - a^2)x^3 + 3x^2 + 2x - 9,$

$K(x) = ax^3 + (a^2 + 2a)x^2 + 2x - 9;$

2)

$P(x) = 2ax^3 - 14x^2 + 3x + 4,$

$K(x) = -2x^3 + 14ax^2 + (2a^2 - a)x + a + 5;$

3)

$P(x) = ax^3 - 4x^2 + 14x - 4,$

$K(x) = -2x^3 - 4x^2 + (2a^2 - 3a)x + a - 2;$

4)

$P(x) = 2ax^3 - 7x^2 + 4x + 2,$

$K(x) = 8x^3 - 7x^2 + (2a^2 - 7a)x + a - 2?$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Чтобы найти значения $a$, при которых $P(x) = K(x)$, необходимо приравнять соответствующие коэффициенты и решить полученную систему уравнений.

1) Даны многочлены $P(x) = (2 - a^2)x^3 + 3x^2 + 2x - 9$ и $K(x) = ax^3 + (a^2 + 2a)x^2 + 2x - 9$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} 2 - a^2 = a & \text{(при } x^3\text{)} \\ 3 = a^2 + 2a & \text{(при } x^2\text{)} \\ 2 = 2 & \text{(при } x\text{)} \\ -9 = -9 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Последние два уравнения являются тождествами. Решим первые два уравнения.

Первое уравнение: $a^2 + a - 2 = 0$. Его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Второе уравнение: $a^2 + 2a - 3 = 0$. Его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = -3$.

Общим решением для обоих уравнений является $a=1$.

Ответ: $a=1$.

2) Даны многочлены $P(x) = 2ax^3 - 14x^2 + 3x + 4$ и $K(x) = -2x^3 + 14ax^2 + (2a^2 - a)x + a + 5$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} 2a = -2 \\ -14 = 14a \\ 3 = 2a^2 - a \\ 4 = a + 5 \end{cases}$

Из первого уравнения: $2a = -2 \implies a = -1$.

Из второго уравнения: $-14 = 14a \implies a = -1$.

Из четвертого уравнения: $a = 4 - 5 \implies a = -1$.

Все три уравнения дают результат $a=-1$. Проверим это значение в третьем уравнении:

$3 = 2(-1)^2 - (-1) = 2(1) + 1 = 3$.

Равенство верно, значит, $a=-1$ является решением.

Ответ: $a=-1$.

3) Даны многочлены $P(x) = ax^3 - 4x^2 + 14x - 4$ и $K(x) = -2x^3 - 4x^2 + (2a^2 - 3a)x + a - 2$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} a = -2 \\ -4 = -4 \\ 14 = 2a^2 - 3a \\ -4 = a - 2 \end{cases}$

Из первого уравнения сразу получаем $a=-2$.

Из четвертого уравнения: $a = -4 + 2 \implies a = -2$.

Проверим значение $a=-2$ в третьем уравнении:

$14 = 2(-2)^2 - 3(-2) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14$.

Равенство верно, следовательно, $a=-2$ является решением.

Ответ: $a=-2$.

4) Даны многочлены $P(x) = 2ax^3 - 7x^2 + 4x + 2$ и $K(x) = 8x^3 - 7x^2 + (2a^2 - 7a)x + a - 2$.

Приравниваем коэффициенты:

$\begin{cases} 2a = 8 \\ -7 = -7 \\ 4 = 2a^2 - 7a \\ 2 = a - 2 \end{cases}$

Из первого уравнения: $2a = 8 \implies a = 4$.

Из четвертого уравнения: $a = 2 + 2 \implies a = 4$.

Проверим значение $a=4$ в третьем уравнении:

$4 = 2(4)^2 - 7(4) = 2(16) - 28 = 32 - 28 = 4$.

Равенство верно, значит, $a=4$ является решением.

Ответ: $a=4$.