Номер 33.3, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.3. Разложите на линейные множители многочлен:

1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$;

2) $x^4 - 13x^2 + 36$;

3) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12.

1) Разложим многочлен $x^3 - 2x^2 - x + 2$ на множители методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) + (-x + 2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(x - 2)$

Выражение $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

Таким образом, многочлен разложен на три линейных множителя.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$.

2) Разложим многочлен $x^4 - 13x^2 + 36$. Это биквадратный многочлен. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда многочлен примет вид:

$y^2 - 13y + 36$

Это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 9. Следовательно, $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 9)$

Оба множителя являются разностями квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Окончательное разложение на линейные множители имеет вид:

$(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

3) Разложим многочлен $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ на множители методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3)$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(x - 3)$

Выражение $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов. Разложим его на множители:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - 2)(x + 2)(x - 3)$

Таким образом, многочлен разложен на три линейных множителя.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 3)$.