Номер 32.16, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.16. Найдите знак выражения:

1) $\tan 2 \cdot \cot 2 + 3\cos^2\pi - \sin^2 15 - \cos^2 15;$

2) $\sin 215^\circ \cdot \sin 4 \cdot \cos 2;$

3) $\cos 1 \cdot \cos(1+ \pi) + \sin 60^\circ - \cos 30^\circ;$

4) $\sin(-5) \cdot \sin 4 \cdot \cos 2.$

1) $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 + 3\cos^2\pi - \sin^215 - \cos^215$

Для нахождения знака выражения проанализируем каждое слагаемое.

Первое слагаемое: произведение тангенса и котангенса одного и того же угла. По определению, $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$, поэтому $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 = 1$ (при условии, что $\text{tg}2$ и $\text{ctg}2$ определены, что верно для угла в 2 радиана).

Второе слагаемое: $3\cos^2\pi$. Мы знаем, что $\cos\pi = -1$. Тогда $\cos^2\pi = (-1)^2 = 1$. Следовательно, $3\cos^2\pi = 3 \cdot 1 = 3$.

Третье и четвертое слагаемые: $-\sin^215 - \cos^215$. Вынесем минус за скобки: $-(\sin^215 + \cos^215)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для любого угла $\alpha$. Таким образом, $-(\sin^215 + \cos^215) = -1$.

Сложим все части: $1 + 3 - 1 = 3$.

Результат равен 3, что является положительным числом.

Ответ: плюс.

2) $\sin 215^{\circ} \cdot \sin 4 \cdot \cos 2$

Для нахождения знака произведения определим знак каждого множителя.

1. $\sin 215^{\circ}$: Угол $215^{\circ}$ находится в третьей четверти ($180^{\circ} < 215^{\circ} < 270^{\circ}$). Синус в третьей четверти отрицателен. Значит, $\sin 215^{\circ} < 0$.

2. $\sin 4$: Аргумент дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$). Угол в 4 радиана находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен. Значит, $\sin 4 < 0$.

3. $\cos 2$: Аргумент дан в радианах. $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$). Угол в 2 радиана находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен. Значит, $\cos 2 < 0$.

Теперь перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \cdot (-) = (-)$.

Произведение трех отрицательных чисел отрицательно.

Ответ: минус.

3) $\cos1 \cdot \cos(1+ \pi) + \sin60^{\circ} - \cos30^{\circ}$

Рассмотрим обе части выражения.

Первая часть: $\cos1 \cdot \cos(1+ \pi)$. Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$. Тогда $\cos(1+\pi) = -\cos1$. Выражение принимает вид $\cos1 \cdot (-\cos1) = -\cos^21$. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), поэтому $\cos1 > 0$. Следовательно, $\cos^21 > 0$, а $-\cos^21 < 0$.

Вторая часть: $\sin60^{\circ} - \cos30^{\circ}$. Знаем табличные значения: $\sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\sin60^{\circ} - \cos30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Сложим обе части: $-\cos^21 + 0 = -\cos^21$.

Так как $\cos1 \neq 0$, то $\cos^21$ — строго положительное число. Значит, $-\cos^21$ — строго отрицательное число.

Ответ: минус.

4) $\sin(-5) \cdot \sin4 \cdot \cos2$

Для нахождения знака произведения определим знак каждого множителя. Все углы даны в радианах.

1. $\sin(-5)$: Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-5) = -\sin5$. Определим четверть для угла в 5 радиан. $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$). Угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен ($\sin5 < 0$). Таким образом, $\sin(-5) = -\sin5 = -(\text{отрицательное число}) > 0$.

2. $\sin4$: Как мы определили в пункте 2, угол в 4 радиана находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin4 < 0$.

3. $\cos2$: Как мы определили в пункте 2, угол в 2 радиана находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos2 < 0$.

Теперь перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \cdot (+) = (+)$.

Произведение положительного и двух отрицательных чисел положительно.

Ответ: плюс.