Номер 32.13, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.13.

1) При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 3, при делении на $x - 3$ остаток равен 5. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 1)(x - 3)$.

2) При делении многочлена на двучлен $x + 1$ остаток равен 1, при делении на $x + 4$ остаток равен 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x + 1)(x + 4)$.

3) При делении многочлена на двучлен $x - 2$ остаток равен 3, при делении на $2x + 5$ остаток равен 6. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 2)(2x + 5)$.

1) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. По условию, при делении $P(x)$ на двучлен $x-1$ остаток равен 3. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $P(a)$. Таким образом, из первого условия следует, что $P(1) = 3$.

Аналогично, при делении $P(x)$ на $x-3$ остаток равен 5. Это означает, что $P(3) = 5$.

Нам нужно найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x-1)(x-3)$. Делитель $(x-1)(x-3)$ является многочленом второй степени. Следовательно, остаток от деления на него будет многочленом степени не выше первой, то есть будет иметь вид $ax+b$.

Мы можем записать деление $P(x)$ на $(x-1)(x-3)$ в следующем виде:

$P(x) = (x-1)(x-3) \cdot Q(x) + (ax+b)$, где $Q(x)$ — частное.

Теперь воспользуемся известными нам значениями $P(1)$ и $P(3)$.

Подставим $x=1$:$P(1) = (1-1)(1-3) \cdot Q(1) + (a \cdot 1 + b)$

$3 = 0 \cdot (-2) \cdot Q(1) + a + b$

$3 = a+b$

Подставим $x=3$:$P(3) = (3-1)(3-3) \cdot Q(3) + (a \cdot 3 + b)$

$5 = 2 \cdot 0 \cdot Q(3) + 3a + b$

$5 = 3a+b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b=3 \\ 3a+b=5 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(3a+b) - (a+b) = 5-3$

$2a = 2$

$a = 1$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:

$1+b=3$

$b=2$

Таким образом, искомый остаток $ax+b$ равен $1 \cdot x + 2 = x+2$.

Ответ: $x+2$

2) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Из условия, что при делении $P(x)$ на $x+1$ остаток равен 1, по теореме Безу получаем $P(-1) = 1$.

Из условия, что при делении $P(x)$ на $x+4$ остаток равен 7, получаем $P(-4) = 7$.

Мы ищем остаток от деления $P(x)$ на $(x+1)(x+4)$. Делитель является многочленом второй степени, значит остаток будет многочленом не выше первой степени, т.е. вида $ax+b$.

Запишем уравнение деления:

$P(x) = (x+1)(x+4) \cdot Q(x) + (ax+b)$

Подставим известные значения.

Для $x=-1$:$P(-1) = (-1+1)(-1+4) \cdot Q(-1) + (a \cdot (-1) + b)$

$1 = 0 \cdot 3 \cdot Q(-1) - a + b$

$1 = -a+b$

Для $x=-4$:$P(-4) = (-4+1)(-4+4) \cdot Q(-4) + (a \cdot (-4) + b)$

$7 = (-3) \cdot 0 \cdot Q(-4) - 4a + b$

$7 = -4a+b$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} -a+b=1 \\ -4a+b=7 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(-4a+b) - (-a+b) = 7-1$

$-3a = 6$

$a = -2$

Подставим $a=-2$ в первое уравнение:

$-(-2)+b=1$

$2+b=1$

$b=-1$

Искомый остаток $ax+b$ равен $-2x - 1$.

Ответ: $-2x-1$

3) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. При делении $P(x)$ на $x-2$ остаток равен 3. По теореме Безу, $P(2) = 3$.

При делении $P(x)$ на $2x+5$ остаток равен 6. Корень двучлена $2x+5$ равен $x = -5/2$. Следовательно, $P(-5/2) = 6$.

Мы ищем остаток от деления $P(x)$ на $(x-2)(2x+5)$. Делитель является многочленом второй степени, поэтому остаток будет иметь вид $ax+b$.

Запишем уравнение деления:

$P(x) = (x-2)(2x+5) \cdot Q(x) + (ax+b)$

Подставим известные значения.

Для $x=2$:$P(2) = (2-2)(2 \cdot 2+5) \cdot Q(2) + (a \cdot 2 + b)$

$3 = 0 \cdot 9 \cdot Q(2) + 2a + b$

$3 = 2a+b$

Для $x=-5/2$:$P(-5/2) = (-5/2 - 2)(2 \cdot (-5/2) + 5) \cdot Q(-5/2) + (a \cdot (-5/2) + b)$

$6 = (-9/2) \cdot 0 \cdot Q(-5/2) - \frac{5}{2}a + b$

$6 = -\frac{5}{2}a+b$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a+b=3 \\ -\frac{5}{2}a+b=6 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2a+b) - (-\frac{5}{2}a+b) = 3-6$

$2a + \frac{5}{2}a = -3$

$\frac{4}{2}a + \frac{5}{2}a = -3$

$\frac{9}{2}a = -3$

$a = -3 \cdot \frac{2}{9} = -\frac{2}{3}$

Подставим $a=-2/3$ в первое уравнение:

$2(-\frac{2}{3}) + b = 3$

$-\frac{4}{3} + b = 3$

$b = 3 + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$

Искомый остаток $ax+b$ равен $-\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$