Номер 32.7, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.7.

1) Докажите, что многочлен $P(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ делится на многочлен $S(x) = 2x^2 + 8x - 2.$

2) Докажите, что многочлен $H(x) = 5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ делится на многочлен $S(x) = -5x^2 + 4x - 4.$

3) Используя схему Горнера, разделите многочлен $P(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 2$ на двучлен $x + 2$. Найдите частное и остаток.

1) Докажите, что многочлен P(x) = x³ + 5x² + 3x − 1 делится на многочлен S(x) = 2x² + 8x − 2.

Для доказательства того, что многочлен $P(x)$ делится на $S(x)$ нацело, необходимо выполнить деление многочленов и показать, что остаток равен нулю. Проведем деление в столбик.

Сначала разделим старший член $x^3$ из $P(x)$ на старший член $2x^2$ из $S(x)$, получим $\frac{x^3}{2x^2} = \frac{1}{2}x$. Это первый член частного.

Умножим делитель $S(x)$ на $\frac{1}{2}x$:

$\frac{1}{2}x \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^3 + 4x^2 - x$

Вычтем полученный многочлен из $P(x)$:

$(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - x) = x^3 - x^3 + 5x^2 - 4x^2 + 3x - (-x) - 1 = x^2 + 4x - 1$

Теперь разделим старший член полученного остатка $x^2$ на старший член делителя $2x^2$, получим $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$. Это второй член частного.

Умножим делитель $S(x)$ на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^2 + 4x - 1$

Вычтем полученный многочлен из предыдущего остатка:

$(x^2 + 4x - 1) - (x^2 + 4x - 1) = 0$

Остаток от деления равен 0. Это доказывает, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $S(x)$ без остатка. Частное при этом равно $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: Поскольку остаток от деления $P(x)$ на $S(x)$ равен нулю, многочлен $P(x)$ делится на $S(x)$ нацело.

2) Докажите, что многочлен H(x) = 5x⁴ − 9x³ − 2x² + 4x − 8 делится на многочлен S(x) = −5x² + 4x − 4.

Аналогично первому пункту, выполним деление многочлена $H(x)$ на $S(x)$ в столбик.

Шаг 1: Делим $5x^4$ на $-5x^2$, получаем $-x^2$. Умножаем $S(x)$ на $-x^2$:

$-x^2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = 5x^4 - 4x^3 + 4x^2$

Вычитаем результат из $H(x)$:

$(5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8) - (5x^4 - 4x^3 + 4x^2) = -5x^3 - 6x^2 + 4x - 8$

Шаг 2: Делим старший член нового многочлена $-5x^3$ на $-5x^2$, получаем $x$. Умножаем $S(x)$ на $x$:

$x \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -5x^3 + 4x^2 - 4x$

Вычитаем:

$(-5x^3 - 6x^2 + 4x - 8) - (-5x^3 + 4x^2 - 4x) = -10x^2 + 8x - 8$

Шаг 3: Делим старший член $-10x^2$ на $-5x^2$, получаем $2$. Умножаем $S(x)$ на $2$:

$2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -10x^2 + 8x - 8$

Вычитаем:

$(-10x^2 + 8x - 8) - (-10x^2 + 8x - 8) = 0$

Остаток равен 0, следовательно, многочлен $H(x)$ делится на $S(x)$ без остатка. Частное равно $-x^2 + x + 2$.

Ответ: Поскольку остаток от деления $H(x)$ на $S(x)$ равен нулю, многочлен $H(x)$ делится на $S(x)$ нацело.

3) Используя схему Горнера, разделите многочлен P(x) = 2x⁵ + x⁴ − 3x³ + 2x² + 2 на двучлен x + 2. Найдите частное и остаток.

Для деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x+2$ по схеме Горнера, мы используем корень этого двучлена, то есть значение $x$, при котором $x+2=0$. Отсюда $x = -2$.

Запишем коэффициенты многочлена $P(x) = 2x^5 + 1x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 0x + 2$ в первую строку таблицы. Важно не забыть коэффициент 0 для отсутствующей степени $x^1$.

Таблица для схемы Горнера выглядит следующим образом:

| 2 1 -3 2 0 2

-2 | -4 6 -6 8 -16

----------------------------------------------------

2 -3 3 -4 8 -14

Вычисления:

1. Первый коэффициент (2) сносим вниз без изменений.

2. Умножаем его на корень и складываем со следующим коэффициентом: $2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.

3. Повторяем операцию: $(-3) \cdot (-2) + (-3) = 6 - 3 = 3$.

4. $3 \cdot (-2) + 2 = -6 + 2 = -4$.

5. $(-4) \cdot (-2) + 0 = 8 + 0 = 8$.

6. $8 \cdot (-2) + 2 = -16 + 2 = -14$.

Числа в нижней строке, кроме последнего, являются коэффициентами частного. Степень частного на единицу меньше степени исходного многочлена.

Частное: $Q(x) = 2x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + 8$.

Последнее число в нижней строке является остатком от деления.

Остаток: $R = -14$.

Ответ: частное $2x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + 8$, остаток $-14$.