Номер 32.5, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.5. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $49^n - 25^n$ делится на 24;

2) $25^n - 9^n$ делится на 24;

3) $6^{2n} - 2^{2n}$ делится на 32;

4) $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17;

5) $13^n + 3^{n+2}$ кратно 10;

6) $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

1) Для доказательства воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$. Эта формула показывает, что выражение $a^n - b^n$ всегда делится на $a-b$.

В нашем случае $a = 49$ и $b = 25$.

Разность $a-b = 49 - 25 = 24$.

Следовательно, выражение $49^n - 25^n$ делится на 24 при любом натуральном $n$, так как его можно представить в виде $24 \cdot k$, где $k = 49^{n-1} + 49^{n-2} \cdot 25 + \dots + 25^{n-1}$ является целым числом.

Ответ: Доказано, что выражение $49^n - 25^n$ делится на 24.

2) Заметим, что утверждение в задаче, скорее всего, содержит опечатку. Если подставить $n=1$, то значение выражения будет $25^1 - 9^1 = 16$. Число 16 не делится нацело на 24. Аналогично, при $n=2$, $25^2 - 9^2 = 625 - 81 = 544$, что также не делится на 24 ($544 = 22 \cdot 24 + 16$).

Предположим, что имелось в виду выражение $25^n - 1$. Докажем, что оно делится на 24.

Используем сравнения по модулю. Нам нужно доказать, что $25^n - 1 \equiv 0 \pmod{24}$.

Число 25 при делении на 24 дает в остатке 1, то есть $25 \equiv 1 \pmod{24}$.

Возведем обе части сравнения в степень $n$: $25^n \equiv 1^n \pmod{24}$, что равносильно $25^n \equiv 1 \pmod{24}$.

Тогда $25^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{24}$.

Это доказывает, что выражение $25^n - 1$ делится на 24 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Если предположить опечатку и рассматривать выражение $25^n-1$, то доказано, что оно делится на 24.

3) Сначала преобразуем выражение: $6^{2n} - 2^{2n} = (6^2)^n - (2^2)^n = 36^n - 4^n$.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + \dots + b^{n-1})$.

В нашем случае $a = 36$ и $b = 4$.

Разность $a-b = 36 - 4 = 32$.

Следовательно, выражение $36^n - 4^n$ делится на 32 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что выражение $6^{2n} - 2^{2n}$ делится на 32.

4) Для доказательства будем использовать сравнения по модулю 17.

Преобразуем выражение: $21^n + 4^{n+2} = 21^n + 4^n \cdot 4^2 = 21^n + 16 \cdot 4^n$.

Найдем остатки от деления оснований степеней на 17:

$21 \equiv 4 \pmod{17}$

$16 \equiv -1 \pmod{17}$

Подставим эти значения в выражение:

$21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{17}$

$4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$

Так как остаток от деления равен 0, выражение делится на 17.

Ответ: Доказано, что выражение $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17.

5) Докажем, что выражение кратно 10, используя сравнения по модулю 10.

Преобразуем выражение: $13^n + 3^{n+2} = 13^n + 3^n \cdot 3^2 = 13^n + 9 \cdot 3^n$.

Найдем остатки от деления чисел на 10:

$13 \equiv 3 \pmod{10}$

$9 \equiv -1 \pmod{10}$

Подставим эти значения в выражение:

$13^n + 9 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{10}$

$3^n - 3^n \equiv 0 \pmod{10}$

Так как остаток от деления равен 0, выражение кратно 10.

Ответ: Доказано, что выражение $13^n + 3^{n+2}$ кратно 10.

6) Докажем, что выражение кратно 4, используя сравнения по модулю 4.

Рассмотрим выражение $5^n + 7 \cdot 9^n$.

Найдем остатки от деления чисел на 4:

$5 \equiv 1 \pmod{4}$

$7 \equiv -1 \pmod{4}$ (или $7 \equiv 3 \pmod{4}$)

$9 \equiv 1 \pmod{4}$

Подставим эти значения в выражение:

$5^n + 7 \cdot 9^n \equiv 1^n + (-1) \cdot 1^n \pmod{4}$

$1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$

Так как остаток от деления равен 0, выражение кратно 4.

Ответ: Доказано, что выражение $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.