Задания, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Убедитесь самостоятельно, что симметрический многочлен нечетной степени сводится к симметрическому многочлену четной степени, так как у любого симметрического многочлена нечетной степени один из корней всегда равен $-1$.

Рассмотрите примеры:

$x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 7x^2 + 2x + 1;$

$3x^7 - 4x^6 - 9x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 4x + 3.$

Найдите остаток $R(x)$ при делении многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ и сравните с $P(a)$, если:

1) $P(x) = 2x^2 + 7x - 1, a = 1;$

2) $P(x) = x^5 - 3x^2 + 7x + 2, a = -2;$

3) $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 7x + 2, a = 3.$

Найдите остаток $R(x)$, не выполняя деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$, если:

1) $P(x) = 3x^5 - 2x^4 - 7x^2 + x + 5, a = -1;$

2) $P(x) = x^8 - 3x^2 - 5x + 9, a = -3.$

Убедимся, что симметрический многочлен нечетной степени сводится к симметрическому многочлену четной степени, так как у любого такого многочлена один из корней всегда равен −1.

Симметрический многочлен $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ определяется свойством симметрии коэффициентов: $a_k = a_{n-k}$ для всех $k$ от 0 до $n$.

Пусть степень многочлена $n$ — нечетное число. Найдем значение многочлена в точке $x = -1$: $P(-1) = a_n(-1)^n + a_{n-1}(-1)^{n-1} + \dots + a_1(-1) + a_0$.

Так как $n$ нечетно, количество членов $n+1$ — четное. Их можно сгруппировать попарно: $(a_0 + a_n(-1)^n)$, $(a_1(-1)^1 + a_{n-1}(-1)^{n-1})$, и так далее.

Рассмотрим общую пару слагаемых $a_k(-1)^k + a_{n-k}(-1)^{n-k}$. Так как $n$ нечетно, $(-1)^{n-k} = (-1)^n(-1)^{-k} = -1 \cdot (-1)^k = -(-1)^k$.

Используя свойство $a_k = a_{n-k}$, получаем: $a_k(-1)^k + a_{n-k}(-1)^{n-k} = a_k(-1)^k + a_k(-(-1)^k) = a_k(-1)^k - a_k(-1)^k = 0$.

Поскольку все слагаемые в $P(-1)$ разбиваются на такие пары, их общая сумма равна нулю. Таким образом, $P(-1) = 0$. Это доказывает, что $x=-1$ всегда является корнем симметрического многочлена нечетной степени.

Следовательно, такой многочлен можно разделить на $(x+1)$, в результате чего получится многочлен на единицу меньшей (то есть четной) степени, который также будет симметрическим.

Рассмотрим примеры, указанные в задании:

1) Для $P(x) = x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 7x^2 + 2x + 1$:

$P(-1) = (-1)^5 + 2(-1)^4 - 7(-1)^3 - 7(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 7 - 7 - 2 + 1 = 0$.

При делении $P(x)$ на $(x+1)$ получаем частное $Q(x) = x^4 + x^3 - 8x^2 + x + 1$, что является симметрическим многочленом 4-й степени.

2) Для $P(x) = 3x^7 - 4x^6 - 9x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 4x + 3$:

$P(-1) = 3(-1)^7 - 4(-1)^6 - 9(-1)^5 + 2(-1)^4 + 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -3 - 4 + 9 + 2 - 2 - 9 + 4 + 3 = 0$.

При делении $P(x)$ на $(x+1)$ получаем частное $Q(x) = 3x^6 - 7x^5 - 2x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 7x + 3$, что является симметрическим многочленом 6-й степени.

1) P(x) = 2x² + 7x − 1, a = 1;

Сначала найдем остаток $R(x)$ путем деления многочлена $P(x) = 2x^2 + 7x - 1$ на двучлен $(x - 1)$.

1. Делим старший член $2x^2$ на $x$, получаем первый член частного: $2x$.

2. Вычитаем $2x(x-1) = 2x^2 - 2x$ из $P(x)$: $(2x^2 + 7x - 1) - (2x^2 - 2x) = 9x - 1$.

3. Делим старший член остатка $9x$ на $x$, получаем второй член частного: $9$.

4. Вычитаем $9(x-1) = 9x - 9$ из $9x-1$: $(9x - 1) - (9x - 9) = 8$.

Остаток от деления $R(x) = 8$.

Теперь вычислим значение $P(a)$ при $a=1$:

$P(1) = 2(1)^2 + 7(1) - 1 = 2 + 7 - 1 = 8$.

Сравнивая результаты, видим, что остаток $R(x)$ равен значению многочлена $P(a)$.

Ответ: $R(x) = 8$, $P(1) = 8$. Остаток равен значению многочлена в точке $a$.

2) P(x) = x³ − 3x² + 7x + 2, a = −2;

Найдем остаток, разделив $P(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 2$ на $(x - (-2)) = (x + 2)$ с помощью схемы Горнера.

Коэффициенты многочлена: 1, -3, 7, 2. Делим на $(x+2)$, значит $a=-2$.

1. Старший коэффициент 1 переносим в результат.

2. Следующий коэффициент частного: $1 \cdot (-2) + (-3) = -5$.

3. Следующий коэффициент частного: $(-5) \cdot (-2) + 7 = 10 + 7 = 17$.

4. Остаток: $17 \cdot (-2) + 2 = -34 + 2 = -32$.

Остаток от деления $R(x) = -32$.

Теперь вычислим значение $P(a)$ при $a=-2$:

$P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 7(-2) + 2 = -8 - 3(4) - 14 + 2 = -8 - 12 - 14 + 2 = -32$.

Сравнивая результаты, видим, что остаток $R(x)$ равен значению многочлена $P(a)$.

Ответ: $R(x) = -32$, $P(-2) = -32$. Остаток равен значению многочлена в точке $a$.

3) P(x) = 2x⁴ + 3x³ − 5x² − 7x + 2, a = 3.

Найдем остаток, разделив $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 7x + 2$ на $(x - 3)$ с помощью схемы Горнера.

Коэффициенты: 2, 3, -5, -7, 2. Делим на $(x-3)$, значит $a=3$.

1. Старший коэффициент 2 переносим в результат.

2. $2 \cdot 3 + 3 = 9$.

3. $9 \cdot 3 + (-5) = 27 - 5 = 22$.

4. $22 \cdot 3 + (-7) = 66 - 7 = 59$.

5. Остаток: $59 \cdot 3 + 2 = 177 + 2 = 179$.

Остаток от деления $R(x) = 179$.

Теперь вычислим значение $P(a)$ при $a=3$:

$P(3) = 2(3)^4 + 3(3)^3 - 5(3)^2 - 7(3) + 2 = 2 \cdot 81 + 3 \cdot 27 - 5 \cdot 9 - 21 + 2 = 162 + 81 - 45 - 21 + 2 = 179$.

Сравнивая результаты, видим, что остаток $R(x)$ равен значению многочлена $P(a)$.

Ответ: $R(x) = 179$, $P(3) = 179$. Остаток равен значению многочлена в точке $a$.

1) P(x) = 3x⁵ − 2x⁴ − 7x² + x + 5, a = −1;

Согласно теореме об остатке (следствие теоремы Безу), остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $R = P(a)$.

Вычислим $P(-1)$:

$P(-1) = 3(-1)^5 - 2(-1)^4 - 7(-1)^2 + (-1) + 5 = 3(-1) - 2(1) - 7(1) - 1 + 5 = -3 - 2 - 7 - 1 + 5 = -8$.

Ответ: $R(x) = -8$.

2) P(x) = x³ − 3x² − 5x + 9, a = −3.

По теореме об остатке, искомый остаток $R$ равен $P(a)$.

Вычислим $P(-3)$:

$P(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 5(-3) + 9 = -27 - 3(9) + 15 + 9 = -27 - 27 + 15 + 9 = -54 + 24 = -30$.

Ответ: $R(x) = -30$.