Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

56. На полигоне частот (рис. 8 ) представлены данные о распределении студентов колледжа по возрастным группам.Найдите относительную частоту (в %) возрастной категории студентов моложе 20 лет.

Для того чтобы найти относительную частоту возрастной категории студентов моложе 20 лет, необходимо сложить относительные частоты всех возрастных групп, которые удовлетворяют этому условию. На полигоне частот (рис. 8) к таким группам относятся:

1. Группа "17-18 лет"

2. Группа "18-19 лет"

3. Группа "19-20 лет"

Из графика определяем относительную частоту для каждой из этих групп:

Для группы "17-18 лет" относительная частота составляет $0,15$.

Для группы "18-19 лет" относительная частота составляет $0,20$.

Для группы "19-20 лет" относительная частота составляет $0,25$.

Суммарная относительная частота для студентов моложе 20 лет вычисляется как сумма относительных частот этих трех групп:

$W_{общая} = 0,15 + 0,20 + 0,25 = 0,60$

Поскольку ответ требуется дать в процентах (%), необходимо умножить полученное значение на 100%:

$0,60 \times 100\% = 60\%$

Ответ: 60%

Убедитесь самостоятельно, что симметрический многочлен нечетной степени сводится к симметрическому многочлену четной степени, так как у любого симметрического многочлена нечетной степени один из корней всегда равен $-1$.

Рассмотрите примеры:

$x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 7x^2 + 2x + 1;$

$3x^7 - 4x^6 - 9x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 4x + 3.$

Найдите остаток $R(x)$ при делении многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ и сравните с $P(a)$, если:

1) $P(x) = 2x^2 + 7x - 1, a = 1;$

2) $P(x) = x^5 - 3x^2 + 7x + 2, a = -2;$

3) $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 7x + 2, a = 3.$

Найдите остаток $R(x)$, не выполняя деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$, если:

1) $P(x) = 3x^5 - 2x^4 - 7x^2 + x + 5, a = -1;$

2) $P(x) = x^8 - 3x^2 - 5x + 9, a = -3.$

Убедимся, что симметрический многочлен нечетной степени сводится к симметрическому многочлену четной степени, так как у любого такого многочлена один из корней всегда равен −1.

Симметрический многочлен $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ определяется свойством симметрии коэффициентов: $a_k = a_{n-k}$ для всех $k$ от 0 до $n$.

Пусть степень многочлена $n$ — нечетное число. Найдем значение многочлена в точке $x = -1$: $P(-1) = a_n(-1)^n + a_{n-1}(-1)^{n-1} + \dots + a_1(-1) + a_0$.

Так как $n$ нечетно, количество членов $n+1$ — четное. Их можно сгруппировать попарно: $(a_0 + a_n(-1)^n)$, $(a_1(-1)^1 + a_{n-1}(-1)^{n-1})$, и так далее.

Рассмотрим общую пару слагаемых $a_k(-1)^k + a_{n-k}(-1)^{n-k}$. Так как $n$ нечетно, $(-1)^{n-k} = (-1)^n(-1)^{-k} = -1 \cdot (-1)^k = -(-1)^k$.

Используя свойство $a_k = a_{n-k}$, получаем: $a_k(-1)^k + a_{n-k}(-1)^{n-k} = a_k(-1)^k + a_k(-(-1)^k) = a_k(-1)^k - a_k(-1)^k = 0$.

Поскольку все слагаемые в $P(-1)$ разбиваются на такие пары, их общая сумма равна нулю. Таким образом, $P(-1) = 0$. Это доказывает, что $x=-1$ всегда является корнем симметрического многочлена нечетной степени.

Следовательно, такой многочлен можно разделить на $(x+1)$, в результате чего получится многочлен на единицу меньшей (то есть четной) степени, который также будет симметрическим.

Рассмотрим примеры, указанные в задании:

1) Для $P(x) = x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 7x^2 + 2x + 1$:

$P(-1) = (-1)^5 + 2(-1)^4 - 7(-1)^3 - 7(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 7 - 7 - 2 + 1 = 0$.

При делении $P(x)$ на $(x+1)$ получаем частное $Q(x) = x^4 + x^3 - 8x^2 + x + 1$, что является симметрическим многочленом 4-й степени.

2) Для $P(x) = 3x^7 - 4x^6 - 9x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 4x + 3$:

$P(-1) = 3(-1)^7 - 4(-1)^6 - 9(-1)^5 + 2(-1)^4 + 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -3 - 4 + 9 + 2 - 2 - 9 + 4 + 3 = 0$.

При делении $P(x)$ на $(x+1)$ получаем частное $Q(x) = 3x^6 - 7x^5 - 2x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 7x + 3$, что является симметрическим многочленом 6-й степени.

1) P(x) = 2x² + 7x − 1, a = 1;

Сначала найдем остаток $R(x)$ путем деления многочлена $P(x) = 2x^2 + 7x - 1$ на двучлен $(x - 1)$.

1. Делим старший член $2x^2$ на $x$, получаем первый член частного: $2x$.

2. Вычитаем $2x(x-1) = 2x^2 - 2x$ из $P(x)$: $(2x^2 + 7x - 1) - (2x^2 - 2x) = 9x - 1$.

3. Делим старший член остатка $9x$ на $x$, получаем второй член частного: $9$.

4. Вычитаем $9(x-1) = 9x - 9$ из $9x-1$: $(9x - 1) - (9x - 9) = 8$.

Остаток от деления $R(x) = 8$.

Теперь вычислим значение $P(a)$ при $a=1$:

$P(1) = 2(1)^2 + 7(1) - 1 = 2 + 7 - 1 = 8$.

Сравнивая результаты, видим, что остаток $R(x)$ равен значению многочлена $P(a)$.

Ответ: $R(x) = 8$, $P(1) = 8$. Остаток равен значению многочлена в точке $a$.

2) P(x) = x³ − 3x² + 7x + 2, a = −2;

Найдем остаток, разделив $P(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 2$ на $(x - (-2)) = (x + 2)$ с помощью схемы Горнера.

Коэффициенты многочлена: 1, -3, 7, 2. Делим на $(x+2)$, значит $a=-2$.

1. Старший коэффициент 1 переносим в результат.

2. Следующий коэффициент частного: $1 \cdot (-2) + (-3) = -5$.

3. Следующий коэффициент частного: $(-5) \cdot (-2) + 7 = 10 + 7 = 17$.

4. Остаток: $17 \cdot (-2) + 2 = -34 + 2 = -32$.

Остаток от деления $R(x) = -32$.

Теперь вычислим значение $P(a)$ при $a=-2$:

$P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 7(-2) + 2 = -8 - 3(4) - 14 + 2 = -8 - 12 - 14 + 2 = -32$.

Сравнивая результаты, видим, что остаток $R(x)$ равен значению многочлена $P(a)$.

Ответ: $R(x) = -32$, $P(-2) = -32$. Остаток равен значению многочлена в точке $a$.

3) P(x) = 2x⁴ + 3x³ − 5x² − 7x + 2, a = 3.

Найдем остаток, разделив $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 7x + 2$ на $(x - 3)$ с помощью схемы Горнера.

Коэффициенты: 2, 3, -5, -7, 2. Делим на $(x-3)$, значит $a=3$.

1. Старший коэффициент 2 переносим в результат.

2. $2 \cdot 3 + 3 = 9$.

3. $9 \cdot 3 + (-5) = 27 - 5 = 22$.

4. $22 \cdot 3 + (-7) = 66 - 7 = 59$.

5. Остаток: $59 \cdot 3 + 2 = 177 + 2 = 179$.

Остаток от деления $R(x) = 179$.

Теперь вычислим значение $P(a)$ при $a=3$:

$P(3) = 2(3)^4 + 3(3)^3 - 5(3)^2 - 7(3) + 2 = 2 \cdot 81 + 3 \cdot 27 - 5 \cdot 9 - 21 + 2 = 162 + 81 - 45 - 21 + 2 = 179$.

Сравнивая результаты, видим, что остаток $R(x)$ равен значению многочлена $P(a)$.

Ответ: $R(x) = 179$, $P(3) = 179$. Остаток равен значению многочлена в точке $a$.

1) P(x) = 3x⁵ − 2x⁴ − 7x² + x + 5, a = −1;

Согласно теореме об остатке (следствие теоремы Безу), остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $R = P(a)$.

Вычислим $P(-1)$:

$P(-1) = 3(-1)^5 - 2(-1)^4 - 7(-1)^2 + (-1) + 5 = 3(-1) - 2(1) - 7(1) - 1 + 5 = -3 - 2 - 7 - 1 + 5 = -8$.

Ответ: $R(x) = -8$.

2) P(x) = x³ − 3x² − 5x + 9, a = −3.

По теореме об остатке, искомый остаток $R$ равен $P(a)$.

Вычислим $P(-3)$:

$P(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 5(-3) + 9 = -27 - 3(9) + 15 + 9 = -27 - 27 + 15 + 9 = -54 + 24 = -30$.

Ответ: $R(x) = -30$.